Возьмем число 125. Данное число было записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10, которое является основанием десятичной системы счисления.
В развернутой форме записи числа умножение цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 125 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:
12510 = 100 + 20 + 5 = 1 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100.
Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 125,35 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
125,3510 = 1 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100 + 3 × 10-1 + 5 × 10-2.
Число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания, в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:
125,3510 × 10 = 1253,510 125,3510: 10 = 12,53510.
Двоичная система счисления. Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.
Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:
А2 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2.
Это же число в свернутой форме:
А2 = 101,012.
Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:
101,012 × 2 = 1010,12,
101,012: 2 = 10,1012.
Аналогично происходит в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления
Возьмем любое двоичное число, например 10,112. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:
10,112 = 1 × 21 + 0 × 20 + 1 × 2-1 + 1 × 2-2 = 1 × 2 + 0 × 1 + 1 × 1/2 + 1 × 1/4 = 2,7510.
Переведем теперь число 1В2,0А16
1В2,0А16= 1 × 162 + В × 161 + 2 × 160 + 0 × 16-1 + А × 16-2 =
= 1 × 256 + 11 × 16 + 2 × 1 + 0 + 10 × 1/256 =
= 434 + 0,0390625 = 434,039062510