Метод итерации

Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение (1) , где - непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (1) равносильным уравнением

(5)

Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня и подставим его в правую часть уравнения (5). Тогда получим некоторое число

(6)

Подставляя теперь в правую часть равенства (6) вместе число , получим новое число . Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел

(7)

Если эта последовательность – сходящаяся, т.е. существует предел , то, переходя к пределу в равенстве (7) и предполагая функцию непрерывной, найдем:

или (8)

Таким образом, предел является корнем уравнения (5) и может быть вычислен по формуле (7) с любой степенью точности.

Условие сходимости итерационного процесса определяется теоремой о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке и выполнены условия:

1. определена и дифференцируема на отрезке .

2. для всех .

3. Существует такое вещественное , что для всех .

Тогда итерационная последовательность сходится при любом начальном приближении .

Замечание: Условия теоремы не являются необходимыми. Это означает, что итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ
К ИТЕРАЦИОННОМУ ВИДУ

Уравнение преобразуется к виду, пригодному для итерационного процесса, следующим преобразованием