2015-03-22
541
Глава 3
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
КАК СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Уравнения движения выводятся исходя из закона сохранения массы, закона изменения количества движения, закона сохранения энергии, уравнения термодинамического состояния и уравнения напряженного состояния.
Применим эти законы к массе жидкости m, находящейся в момент времени t в некотором произвольно выделенном объеме V. Будем считать, что внутри объема нет ни источников, ни стоков.
Уравнение неразрывности
Согласно закону сохранения массы для изолированной системы, масса жидкости m, которая находилась в момент времени t в рассматриваемом объеме, будет оставаться неизменной при ее движении. То есть 
и 
.
Изменение массы при движении может происходить как за счет изменения плотности 
с течением времени, так и за счет изменения объема V, который может занимать рассматриваемая масса жидкости в следующий момент времени. Изменение массы за счет изменения плотности запишется как 
.
Найдем изменение массы за счет изменения объема. Элемент поверхности dS рассматриваемого объема переместится за время 
на расстояние 
(рис. 3.1); за счет перемещения элемента поверхности объем изменится в единицу времени на 
. Тогда изменение массы равно 
. Поскольку суммарное изменение массы равно нулю, то получаем 
– закон сохранения массы в интегральной форме.
Преобразуем интеграл по площади в интеграл по объему с помощью формулы Остроградского–Гаусса:
.
Объединяя интегралы, получим 
. В силу произвольности элементарного объема 
это равенство возможно, если подынтегральное выражение равно нулю, т. е. если
. (3.1)
Выражение (3.1) представляет собой закон сохранения массы в дифференциальной форме, или иначе – уравнение неразрывности для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. Для установившегося движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид
. (3.1а)
Приведем уравнение (3.1) к другой форме, произведя следующие преобразования:
Так как 
, то уравнение неразрывности примет вид
. (3.1б)
В случае движения несжимаемой жидкости (
) запись уравнения неразрывности еще более упростится:
. (3.1в)
Если движение несжимаемой жидкости потенциальное, то проекции вектора скорости на координатные направления можно записать через потенциал вектора скорости 
как
Тогда 
. Так как 
– это оператор Лапласа, то уравнение неразрывности для случая потенциального движения несжимаемой жидкости преобразуется в уравнение Лапласа:
. (3.1г)
В случае установившегося движения газа при решении практических задач часто используется уравнение неразрывности в форме уравнения массового расхода:
, (3.2)
где F – площадь поперечного сечения трубки тока, или (при движении несжимаемой среды) в форме объемного расхода:
. (3.2а)
Формулы (3.2) и (3.2а) получаются элементарным образом при рассмотрении расхода сжимаемой и несжимаемой жидкости через поперечные сечения трубки тока.
