Уравнение, выражающее закон сохранения энергии

Введем следующие обозначения: U – внутренняя энергия единицы массы жидкости; – ее кинетическая энергия. Тогда полная энергия рассматриваемой массы жидкости равна .

Применим закон сохранения энергии:

Изменение энергии некоторой массы жидкости за некоторый промежуток времени равно работе всех сил, приложенных к данной массе жидкости (за данный промежуток времени), плюс/минус количество тепла, полученное за этот же промежуток времени вследствие теплопроводности, лучеиспускания или химических реакций.

Тогда изменение энергии в единицу времени запишем как

где первое слагаемое представляет собой изменение энергии рассматриваемой массы в единицу времени; второе – изменение энергии данной массы за счет переменности ее объема, которое по теореме Остроградского–Гаусса можно записать следующим образом:

Тогда изменение энергии массы газа представим в виде

. (3.13)

Изменение энергии некоторой массы газа может происходить за счет работы внешних сил и подвода или отвода тепла. Работа внешних по отношению к рассматриваемой системе сил складывается из трех составляющих:

– работа сил давления в единицу времени;

– работа сил трения в единицу времени;

– работа массовых сил.

Тепло, подводимое или отводимое от выделенного объема, представим следующим образом: где – вектор потока тепла, проходящего (уходящего) внутрь объема V в единицу времени через единицу поверхности; – количество тепла, выделяемое (поглощаемое) единицей массы в единицу времени (объемное выделение тепла, возможное, например, за счет химических реакций).

Тогда

Преобразуем интегралы по поверхности в интегралы по объему:

;

воспользуемся выражением для изменения энергии данной массы (3.13) и после объединения интегралов, учитывая, что объем интегрирования произвольный, получим закон сохранения энергии в дифференциальной форме:

(3.14)

Преобразуем левую часть этого выражения следующим образом:

Тогда

(3.15)

Воспользуемся уравнением, выражающим закон изменения количества движения вязкой жидкости в векторном виде:

Умножим его скалярно на вектор скорости

. (3.16)

После подстановки уравнения (3.16) в уравнение (3.15) получаем

или после сокращений

. (3.16а)

Из уравнения неразрывности (3.1б) получаем . Тогда из уравнения (3.16а) получаем – уравнение энергии в виде 1-го закона термодинамики.

В этом уравнении – количество тепла, получаемое единицей массы жидкости в единицу времени, в которое входит диссипативная функция , представляющая собой количество тепла, выделяемого в данном объеме за счет работы сил трения. Все сообщенное количество тепла идет на увеличение внутренней энергии жидкости и на совершение ею механической работы.

Если , то мы наблюдаем адиабатический процесс. Как следует из уравнения энергии, это возможно, если жидкость идеальная (нет сил трения), отсутствует теплопередача между частицами жидкости и объемное выделение тепла.

Представим уравнение энергии в другом виде, введя в рассмотрение функцию – теплосодержание единицы массы движущейся жидкости ( – теплосодержание единицы массы покоящейся жидкости). Добавим к левой и правой частям уравнения энергии (3.14) равенство

Преобразуем первые три слагаемые в правой части:

и получим следующее уравнение:

(3.17)

Из уравнения (3.17) следует, что при адиабатическом процессе (теплосодержание Н = const) должны выполняться следующие условия:

т. е. давление не должно зависеть от времени, а вектор массовых сил должен быть перпендикулярен вектору скорости или равен нулю. Так как в этом случае правая часть равенства обращается в нуль (), то