Решение. Расчет для постоянной составляющей

Расчет для постоянной составляющей.

Входное напряжение В.

Конденсатор постоянный ток не проводит, поэтому . Напряжения на зажимах катушек индуктивности равны нулю при протекании постоянного тока, следовательно А.

Расчет для первой гармоники.

Входное напряжение .

Воспользуемся комплексным методом расчета. Комплексное напряжение на входе цепи имеет вид В. Запишем комплексные сопротивления ветвей:

Ом, Ом, Ом.

Эквивалентное комплексное сопротивление цепи получим из соотношения

Ом.

Далее имеем

Мгновенные значения токов в ветвях для первой гармоники определяются выражениями:

Расчет для второй гармоники.

Входное напряжение .

Комплексное напряжение на входе цепи равно . Комплексные сопротивления ветвей синусоидальному току частотой равны

Ом, Ом, Ом.

Эквивалентное сопротивление участка 2,3 цепи равно

то есть на участке цепи, образованном двумя параллельно соединенными ветвями 2 и 3, имеет место резонанс токов и .

Ток во второй ветви найдем из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа

В результате имеем Мгновенные значения токов второй гармоники определяются выражениями

Окончательно мгновенные значения токов в ветвях цепи найдем, суммируя их значения для отдельных гармоник:

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Соотношение амплитудных значений первой и второй гармоник напряжения 6. В то же время соотношение амплитудных значений гармоник тока, например в третьей ветви, , а для тока первой ветви , что связано с изменением сопротивлений реактивных элементов на различных частотах. Таким образом, изменяя структуру схемы и подбирая параметры реактивных элементов, можно изменять гармонический состав токов при произвольном несинусоидальном воздействии.

Найдем действующие значения токов ветвей и входного напряжения

Активная мощность потребляется в ветвях с резисторами и в данной цепи Вт. Активная мощность, отдаваемая источником, равна

В последнем выражении индекс в скобках указывает номер гармоники, для которой определены действующие значения входного напряжения и тока .

Равенство активных мощностей приемника и источника соответствует условию баланса мощности и подтверждает правильность расчета.

Задача 2. Рассчитать и построить амплитудно-частотные характеристики тока , напряжения на конденсаторе , напряжения на катушке индуктивности для двухполюсников, изображенных на рисунке. К зажимам цепи приложено напряжение , для которого разложение в ряд Фурье имеет вид:

Параметры элементов двухполюсников: Ом, Ом.

Рассмотрим решение задачи для первого варианта схемы.

Амплитуду -ой гармоники тока определим из соотношения

Тогда амплитуды -ой гармоники напряжения на конденсаторе и напряжения на катушке индуктивности могут быть рассчитаны следующим образом

Результаты расчета дискретных спектров , , приведены в таблице 12.1, а соответствующие амплитудно-частотные характеристики изображены на рисунке.

Таблица 12.1

	0,141	0,447	0,832	0,447	0,282
	1,128	1,790	2,220	0,894	0,451
	0,141	0,894	2,500	1,780	1,410

Обратим внимание на максимумы в дискретных спектрах при . Частота не является резонансной для рассматриваемого колебательного контура, однако близка к ней, чем и определяется наличие экстремумов.

Задача 3. Напряжение на входе фильтра имеет вид

Определить параметры элементов фильтра таким образом, чтобы в кривой напряжения на зажимах приемника отсутствовала третья гармоника, а первая гармоника передавалась без искажения от источника к приемнику.

Вариант а. Отсутствие третьей гармоники в кривой возможно в случае, когда сопротивление ветви току третьей гармоники равно нулю. Это условие соответствует резонансу напряжений на частоте третьей гармоники в ветви , что приводит к равенству

Передача без искажения основной гармоники напряжения от источника к приемнику означает равенство единице коэффициента передачи напряжения на частоте первой гармоники. Напряжение на выходе фильтра запишется в виде

и, с учетом равенства , получим

Далее имеем

что соответствует двум равенствам: откуда , и , откуда .

При условии получаем .

Решение, при котором , также обеспечивающее равенство , одновременно приводит к замыканию накоротко источника на частоте третьей гармоники и поэтому должно быть отброшено.

Задача имеет несколько решений, поскольку три неизвестных параметра определяются из двух условий.

Итак, при выполнении условий

напряжение на выходе фильтра равно .

Вариант б. При подборе параметров и таким образом, чтобы выполнялось условие , соответствующее резонансу токов на частоте третьей гармоники, сопротивление двухполюсника в фильтре будет бесконечно большим. Тогда третья гармоника тока на выходе фильтра и, следовательно, третья гармоника напряжения , будет отсутствовать.

Емкость следует подобрать таким образом, чтобы сопротивление фильтра току первой гармоники равнялось нулю. В результате, с учетом условия , получим

откуда .

Окончательно имеем следующие два соотношения для определения трех параметров фильтра

при этом .

Задача выбора параметров и , как и предыдущая, имеет несколько решений.