2015-03-22
1580
1. Приращение 
дифференцируемой функции 
может быть представлено в виде: 
, (9.1)
где 
- производная функции 
; 
- приращение независимой переменной; 
- бесконечно малая величина.
2. Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
(9.2)
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
(9.3)
Поэтому дифференциал функции
(9.4)
3. Свойства дифференциала:
1) 
, где с = const. 2) 
3) 
4) 
(9.5)
5) 
6) 
4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
При достаточно малых значениях ∆ х приращение функции ∆ у ≈ dy, т.е.
(9.6)
Чем меньше значение ∆ х, тем точнее формула (9.6).
Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью 
, то, функция 
с относительной погрешностью 
, определяемой по формуле
, (9.7)
где 
- эластичность функции (по абсолютной величине).
5. Дифференциалы высших порядков.
Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2y функции
|
|
|
y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.
d 2 y = d (dy). (9.8)
Дифференциалом n-го порядка dny называется дифференциал от дифференциала
(n – 1) –го порядка этой функции, т.е. d n y = d (dn -1 y). (9.9)
9.1. Найти дифференциал функции y = x 2 + x + 1 в точке х = 2 двумя способами:
а) выделяя линейную относительно ∆ х часть приращения функции ∆ у;
б) по формуле dy = f′ (x) dx.
