Краткая теория. 1. Приращение дифференцируемой функции может быть представлено в виде: , (9.1)

1. Приращение дифференцируемой функции может быть представлено в виде: , (9.1)

где - производная функции ; - приращение независимой переменной; - бесконечно малая величина.

2. Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

(9.2)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

(9.3)

Поэтому дифференциал функции

(9.4)

3. Свойства дифференциала:

1) , где с = const. 2)

3) 4) (9.5)

5) 6)

4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

При достаточно малых значениях ∆ х приращение функции ∆ у ≈ dy, т.е.

(9.6)

Чем меньше значение ∆ х, тем точнее формула (9.6).

Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью , то, функция с относительной погрешностью , определяемой по формуле

, (9.7)

где - эластичность функции (по абсолютной величине).

5. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d²y функции

y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

d ² y = d (dy). (9.8)

Дифференциалом n-го порядка dⁿy называется дифференциал от дифференциала

(n – 1) –го порядка этой функции, т.е. d ⁿ y = d (d^{n -1} y). (9.9)

9.1. Найти дифференциал функции y = x ² + x + 1 в точке х = 2 двумя способами:

а) выделяя линейную относительно ∆ х часть приращения функции ∆ у;

б) по формуле dy = f′ (x) dx.