Краткая теория. 1. Прямая l называется асимптотой графика функции у = ƒ(х), если расстояние от точки (х, ƒ(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном

1. Прямая l называется асимптотой графика функции у = ƒ(х), если расстояние от точки (х, ƒ(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

2. Прямая х = x_о является вертикальной асимптотой графика

функции у= ƒ(х), если хотя бы один из пределов ƒ(х) (правосторонний или левосторонний) равен .

Прямая х = x_о может быть вертикальной асимптотой функции y = ƒ(х) в том случае, если x_о – точка разрыва или граничная точка области определения.

3. Прямая у = b является горизонтальной асимптотой, если lim ƒ(х) = b.

Если lim ƒ(х) = b, то у = b — правосторонняя горизонтальная асимптота,

если lim ƒ(х) = b, то у = b — левосторонняя горизонтальная асимптота.

4. Если = k 0 и = b, то прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = ƒ(х).

5. Общая схема исследования функций и построения графиков:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность – нечетность;

3) найти вертикальные асимптоты;

4) исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

5) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6) найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7) найти точки пересечения графика функции с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением графиков.

8.94. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения . Точки и – точки разрыва функции.

2. ƒ(- х) = -ƒ(х), т.е. функция нечетная; её график симметричен относительно начала координат и достаточно провести исследования функции на интервале .

3. ; .

Прямые х = 1 и (в силу симметрии графика) – вертикальные асимптоты.

4. . Прямая у = 0 (ось абсцисс) – двухсторонняя горизонтальная асимптота.

5. при всех допустимых значениях х. Экстремумов нет, функция возрастает на интервалах .

6. , y" = 0 при х = 0. Знаки второй производной показаны на рис. 8.7.

Рис. 8.7

Функция выпукла вниз на интервалах и и выпукла вверх на интервалах . Хотя ƒ"(х) меняет свой знак при переходе через три точки
, , , но график функции имеет только одну точку перегиба х = 1, ибо в двух других точках , функция не определена.

7. Точка пересечения графика с осями единственная – начало координат (0;0).

График функции показан на рис. 8.8.

Рис. 8.8

8.95. Исследовать функцию y = (x - 1) e^x и построить ее график.

Решение:

1. Область определения .

2. Функция общего вида, так как ƒ (- х) = (- х - 1) ƒ (х).

3. Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

4. (х - 1) e^x = ∞; (х - 1) e^x = [ ∞∙0] = = = = 0. Следовательно, прямая у = 0 (ось абсцисс) является левосторонней горизонтальной асимптотой.

5. у ' = e^x+ (х - 1) e^x = х e^x. Производная обращается в нуль в точке х = 0. Знаки производной показаны на рис. 8.9.

Рис. 8.9

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞; 0), возрастает на интервале
(0; +∞); х= 0 – точка минимума и ƒ_min(0) = -1.

6. у" = e^x+ xe^x = e^x(x + 1 ); y" = 0 при х = - 1. Производная y"<0, если х + 1 < 0, т.е. на интервале . На интервале у" > 0. Таким образом, функция выпукла вверх на интервале и выпукла вниз на интервале ; х = -1 – точка перегиба.