1. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если для любых двух значений x1, x2 из этого промежутка выполняется неравенство
.
Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.
2. Если вторая производная f"(x) функции положительна (отрицательна) на промежутке, то функция является выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.
3. Если x0 – точка перегиба функции и f"(x0) существует, то f"(x0) = 0.
4. Если вторая производная f"(x) меняет знак при переходе через точку x0, то точка x0 является точкой перегиба функции .
5. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:
1) найти вторую производную функции f"(x);
2) найти точки, в которых вторая производная f"(x0) = 0 или не существует;
3) исследовать знак второй производной функции слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба;
4) найти значения функции в точках перегиба.
8.80. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции y = 5х4-3х5.
Решение. y′ = 20х3 - 15х4, y" = 60х2 - 60х3 = 60х2(1-x). Вторая производная обращается в нуль в тех же точках х1= 0, х2 = 1, что и в предыдущем примере. Однако, на этот раз знаки второй производной следующие (рис. 8.5).
Рис. 8.5
Таким образом, функция выпукла вниз на всем интервале (- ∞; 1), и точка х = 0 не является точкой перегиба. Нетрудно увидеть, что это точка экстремума (максимума) функции. Точка х = 1 является точкой перегиба. На интервале (1; + ∞) функция является выпуклой вниз.
Рис. 8.6
8.81. Найти точки перегиба у = sin х + 2соs х.
Решение. Имеем у' = соs х-2sin x, y" = -sin x – 2cos x. Вторая производная обращается в нуль при выполнении равенства sin x = - 2 cos x, или tg x = - 2,т.е. в точках
x = - arctg 2 + πn. Рис 8.6 показывает, что при – arctg 2 + 2 πn < x < π – arctg 2 + 2πn ƒ"(х)<0 и функция является выпуклой вниз, а при π – arctg 2 + 2πn < x < 2π - arctg 2 + 2πn ƒ"(х) >0 и функция является выпуклой вверх. Точки х = - arctg 2 + πn – точки перегиба.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:
8.82. y = x3 (x2 - 5). 8.83. y = . 8.84. y =
8.85. y = . 8.86. y = (x + 1)arctg x. 8.87. y = x3 e .
8.88. y = . 8.89. y = x2e . 8.90. y = x3lnx + 1.
8.91. y = . 8.92. y = . 8.93. y = .
8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков