Итерация градиентного метода с дроблением шага для задачи (10), (11) имеет вид
(12) |
(13) |
а величина шага находится из условия
(14) |
Найдем явные выражения для частных производных функции (11):
(15) |
Таким образом, из (12), (13), (15) имеем искомую итерационную формулу градиентного метода с дроблением шага для задачи (10), (11).
=- , =- ,
(16) |
3.Первая итерация ( =0).
Из формул (15), (16) последовательно имеем
Таким образом, (см. рис. 3).
Условие (14) на первой итерации имеет вид
Поскольку
левая часть этого неравенства равна . Его правая часть, легко видеть, равна .
Таким образом, на первой итерации условие (14) выполняется и величина шага должна быть изменена:
4.Вторая итерация ( =1).
Аналогично первой итерации последовательно имеем
Таким образом, (см. рис. 3).
Условие (14) на второй итерации имеет вид
Поскольку
левая часть этого неравенства равна . Его правая часть, легко видеть, равна .
Таким образом, на второй итерации условие (14) выполняется и величина шага должна быть изменена: .
5.Третья итерация ( =2).
Аналогично первой итерации последовательно имеем
Таким образом, (см. рис. 3).
Условие (14) на третьей итерации имеет вид
()- () 0.5 .
Поскольку
левая часть этого неравенства равна . Его правая часть, легко видеть, равна .
Таким образом, на третьей итерации условие (14) выполняется и величина шага должна быть изменена: .
Градиентный метод с дроблением шага. Тест 1
Выполните несколько итераций (не менее двух) решения двумерной задачи локальной безусловной оптимизации
(1) |
(2) |
градиентным методом с дроблением шага, исходя из точки .
Примите , , в качестве нормы вектора градиента используйте евклидову норму.
Траекторию поиска изобразите на рисунке, на котором приведены линии уровня квадратичной функции (2), которые могут быть получены с помощью следующей MATLAB-программы:
x=-2:0.06:2;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x);
Z=(X).^2+(Y).^2+3*(X+Y).^2;
V=[0.1,0.2,0.4,0.8,1.5,3.,6.,12,24];
[C,h]=contour(X,Y,Z,V);
clabel(C,h);
Ответ