Производная по направлению. Градиент. Пусть в области , в которой определена функция , в некоторой внутренней точке задано направление вектором

Пусть в области , в которой определена функция , в некоторой внутренней точке задано направление вектором (см. рис.8). Нас интересует поведение функции при движении точки в этом направлении. Пусть расстояние между точками и , а – единичный вектор заданного направления . Тогда координаты точки равны: . Если точка стремится к точке в заданном направлении, то .

Производной функции в точке в заданном направлении называется предел

.

В частности, частные производные это производные по направлению координатных осей и соответственно. Оказывается, что для функции, имеющей непрерывные частные производные, производная по направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные сложных функций.

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то производная по направлению в точке определяется формулой

,(1)

где – единичный вектор заданного направления

Замечание. Если направление задано вектором , то производная функции по направлению может быть подсчитана по формуле

. (2)

Пример. Найти производную от функции в точке М (1,2) в направлении, составляющим с осью угол в .

Решение. Направление задано углом наклона к оси , поэтому воспользуемся формулой (1).

, ,

, ,

Пример. Найти производную от функции в точке М (1;2) найти производную по направлению .

Решение. Направление задано координатами вектора , поэтому воспользуемся формулой (2).

, ,

, ,

.

Рассмотрим понятие градиента функции .

Градиентом функции называется вектор с координатами .