Его геометрический смысл

Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная часть полного приращения этой функции в точке , то есть

. (1)

Если положить , то , то есть . Аналогично, полагая , получим, что . Таким образом, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, то есть

. (2)

Геометрический смысл дифференциала: если полное приращение функции представляет геометрически приращение аппликаты поверхности , то дифференциал функции есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности в данной точке, когда переменные и получают приращения и (см. рис.7).

Напомним, что если функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

(3)

Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство . Отсюда получаем формулу приближенных вычислений:

(4)

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Тогда , где . . Воспользуемся формулой (4), предварительно найдя и :

, ,

, .

Следовательно, .

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: .