Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция , дифференцируемая в точке , задает в пространстве поверхность . Пересечем эту поверхность плоскостями и (см. рис.4). Плоскость пересекает поверхность по некоторой линии , уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции вместо числа . Точка принадлежит кривой .

Рис. 6

В силу дифференцируемости функции в точке функция также является дифференцируемой в точке . Следовательно, в этой точке плоскости к кривой может быть проведена касательная . Проводя аналогичные рассуждения для сечения , построим касательную к кривой в точке . Прямые и определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется нормалью к поверхности в точке .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением , в точке определяется уравнением

, (1)

а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение

= = . (2)

Если поверхность задана неявно уравнением и функция дифференцируема в точке , то касательная плоскость к этой поверхности в точке определяется уравнением

(3)

а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение

= = . (4)

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, то есть не особых точек поверхности. Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.