Игры без седловой точки. Смешанные стратегии

Если партнеры играют только один раз, то игрокам целесообразно придерживаться принципа минимакса, как в игре с седловой точкой, так и в игре без седловой точки.

В случае многократного повторения игры с седловой точко й игрокам также целесообразно придерживаться принципа минимакса.

Однако доказано, что при многократно повторяемой игре без седловой точки игроку A, для обеспечения среднего выигрыша, большего, чем α, следует чередовать свои стратегии A₁, A₂,..., A_m.

Игроку B для улучшения результата также целесообразно чередовать свои стратегии B₁, B₂,..., B_n.

В этом случае игра решается в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии предполагают, что каждый игрок будет выбирать с некоторой вероятностью допустимые чистые стратегии.

Решением игры являются смешанные стратегии

и ,

где p_i и q_j - вероятности чистых стратегий A_i и B_j при этом:

Пусть платежная матрица имеет вид:

Таким образом задача поиска решения для игрока А сводится к решению задачи линейного программирования

Технику решения задачи линейного программирования мы упустим, воспользовавшись для решения надстройкой пакета Excel «Поиск решения»

Двойственная задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Еще раз напомним, что цена игры

и вероятности состояний p_i=x_i ν, q_j=y_j ν,.

Основная теорема игр: Каждая матричная игра с нулевой суммой между двумя игроками имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.