Игры в чистых стратегиях

Рассмотрим следующую модель.

Игроки А и В играют с нулевой суммой.

Стратегии игрока А: А ₁, А ₂,…, А_n.

Стратегии игрока В: В ₁, В ₂,…, В_m.

Составим платежную матрицу игры для игрока А:

Оптимальной стратегией игрока в матричной игре называется такая, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш.

Игрок А, выбирая свою стратегию А_i, понимает, что В ответит ему такой стратегией В_j, чтобы выигрыш А был минимальным.

Поэтому, из всех наихудших вариантов (минимальных элементов каждой строки платежной матрицы) , игроку А выгодно выбрать стратегию, соответствующую максимальному из этих элементов:

Величина a называется нижней ценой игры или максимином.

Это гарантированный выигрыш игрока А.

С другой стороны, игрок В выбирая свою стратегию В _j понимает, что игрок А ответит такой стратегией А_i, чтобы его выигрыш был максимален. Поэтому из наилучших вариантов для А (максимальных элементов каждого столбца) игроку В рационально выбрать свою стратегию, соответствующую минимальному из этих чисел:

Величина β называется верхней ценой игры или минимаксом.

Это максимальный проигрыш игрока В.

Реальный результат решения конфликтной ситуации, называемый ценой игры ν, заключен между верхней и нижней ценой: α≤ ν ≤ β

В случае, если верхняя и нижняя цены совпадают α=β=ν, то игра имеет решение в чистых стратегиях

В геометрии точку на поверхности, обладающую аналогичным свойством (одновременный минимум по одной координате и максимум по другой), называют седловой точкой; по аналогии этот термин применяется и в теории игр.

Элемент матрицы, обладающий этим свойством, называется седловой точкой матрицы, а про игру говорят, что она имеет седловую точку.

Пример:

Игра с седловой точкой 0,6	Игра без седловой точки