2015-03-07
624
10. Доказать тождества непосредственно из определения числа 
(1) 
,
(2) 
,
(3) 
.
11. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется
(1) хотя бы один туз? Ответ: 
(2) ровно один туз? Ответ: 
(3) не менее двух тузов? Ответ: 
(4) ровно два туза? Ответ: 
12. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется
(1) 4 туза, 2 короля, 3 дамы;
(2) 2 туза, 2 короля, 2 дамы;
(3) 1 туз, 1 королm, 2 дамы, 3 десятки;
(4) 4 туза, 4 короля, 2 дамы;
(5) 2 туза, 3 короля, 1 дама, 1 десятка;
(6) 3 туза, 2 короля, 4 дамы;
13. Разложением числа m называется конечная последовательность (x1, x2, ×××, xn) неотрицательных целых чисел, таких что x1+ x2+ ××× + xn = m. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3?
Указание. Если в разложении p двоек и q троек, то 2p + 3q = 19. Отсюда получаем следующие варианты разложения:
| p=2 | q=5 | число разложений 
|
| p=5 | q=3 | число разложений 
|
| p=8 | q=1 | число разложений 
|
Ответ: 
.
14. Сколько разложений числа 12 состоит из чисел 2 и 3?
Ответ: 
= 12.
|
|
|
15. Сколькими способами можно разложить число 1024 в произведение трех натуральных чисел, каждое из которых больше 1?
Указание. Это число решений уравнения x1+ x2,+ x3 = 10, где xi >0.
Ответ: 
= 36.
16. Сколько существует на плоскости непрерывных путей из точки (0,0) в точку (n,n)Î N ´ N, состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1)?
17. Найти число непрерывных путей в декартовой плоскости, соединяющих точку (0,0) с точкой (m,n)Î N ´ N, проходящих через точку (p,q) и состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1)?
18. Найти число решений уравнения x1+ x2+ x3+ x4 + x5 = 20, где xi > 0.
19. Найти число решений уравнения x1+ x2+ x3+ x4 + x5 = 15, где xi ³ 0.
20. Найти число возрастающих функций {1,2,3,4,5}®{1,2,3,4,5,6,7}.
21. Найти число неубывающих сюръекций {1,2,3,4,5,6,7}®{1,2,3,4,5}.
22. Найти число неубывающих функций {1,2,3,4,5}®{1,2,3,4,5}.
23. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих из £ n цифр, расположенных в неубывающем порядке (цифра 0 не допускается первой для ненулевых чисел). Например, при n=2, такие числа будут равны
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, ∙ ∙ ∙, 89, 99.
Ответ: 
= 36.
24. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих цифр, расположенных в возрастающем порядке.
Ответ: 
25. Найти количество неотрицательных целых чисел, десятичная запись которых состоит из n разрядов и содержит все цифры, расположенные в невозрастающем порядке.
Ответ: 
.
26. Какое количество m´n–матриц можно составить из неотрицательных целых чисел aij ³ 0, таких что S aij = k.
Ответ: 
.
