Упорядоченные разбиения

27. Десять человек разбились на 5 групп по 2 человека в каждой. Скольким способами это можно сделать?

Указание. Упорядоченных разбиений 10!/(2!2!2!2!2!), при перестанов ках групп получаются одинаковые разбиения, отсюда искомое число = 10!/(2!2!2!2!2!)/5! = 1×3×5×7×9 = 945.

28. В группе 20 студентов. Одному человеку положено выдать надбавку к стипендии в размере 1000 рублей. Двум – по 500, трем по 300. Сколькими способами это можно сделать?

29. Сколько существует шашечных позиций, состоящих из 10 белых и 10 черных шашек?

30. Сколько различных слов можно составить из букв слова МАТЕМАТИКА.

31. Оценить сверху число шахматных позиций, содержащих все фигуры и пешки?

32. В урне находится k шаров. Каждый шар может иметь либо белый, либо черный, либо красный цвет. Какова вероятность того, что один шар белый, один – черный? (А остальные красные.)

Ответ: k(k-1)/3^k.

33. Найти коэффициент при в разложении степени в сумму однородных одночленов.

34. Найти (x₁ + x₂ + x₃)⁴.

35. Сколько путей, составленных из направленных отрезков единичной длины существует в трехмерной решетке из (0,0,0) в (p,q,r). Вектора отрезков равны (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).