Способы определения множеств

Множество – состоит из элементов. Принадлежность элемента а множеству М обозначается (" а принадлежит М "), не принадлежность – .

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается ), если всякий элемент из А является элементом В (рис 1.1). Если множество A является подмножеством множества B и , то А называется строгим подмножеством (обозначается , читается A включено (содержится) в B).

Рисунок 1.1 – Множество С с подмножествами В и А

Содержательные примеры множеств и их возможные обозначения:

N – множество натуральных чисел 1, 2, 3,...;

N ₁ – множество натуральных чисел, не превосходящих 100;

R – множество действительных чисел.

Из рис. 2.1 видно, что если и , то . такое свойство включения называется транзитивностью.

По поводу равенства множеств можно сказать:

Множества А и В равны, если их элементы совпадают (Определение I), или множества А и В равны, если и (Определение II).

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным (например, множества N, R – бесконечные множества).

Число элементов в конечном множестве А называется его мощностью и обозначается | А |.

Если , то | А | < | B |.

Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым (обозначается ): | | = 0. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Множеством подмножеств некоторого произвольного множества U илиего булеаном (обозначается (U)),называется множество, элементами которого являются все подмножества множества U. Оно включает в качестве элементов также пустое множество и само множество U.

Мощность булеана равна

| (U)| = 2 ⁿ, где n = | U |.

Таким образом, если множество U состоит из n элементов, то его булеан состоит из 2 ⁿ элементов.

В конечном множестве можно задать нижнюю и верхнюю границы, обозначаемые

inf A = m и sup A = M,

соответственно. Здесь A – множество, а m и M некоторые элементы множества (не обязательно числа).

Если , то inf A inf B, а sup A sup B.

Приведем способы задания множеств.

Множества можно задавать перечислением, т.е. списком своих элементов. Списком можно задать лишь конечные множества. Обозначение списка – в фигурных скобках. Например, множество А устройств домашнего компьютера, состоящего из процессорного блока a, а также периферийных устройств В (монитора b, клавиатуры с и принтера d), может быть представлено списком:

А = { а, В } или А = { а, b, с, d }.

Необходим внести следующие уточнения:

1) в списке, задающем множество, одинаковые элементы представляются одним элементом (поэтому в множествах нижняя и верхняя границы единственны).

2) перестановка элементов в списке не изменяет множество.

3) задание типа N = 1, 2, 3,... – не список, но лишь допустимое условное обозначение.

Следующий метод задания множества – задание с помощью п орождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки , , где N – множество натуральных чисел, (допустимое обозначение = 1, 2, 4, 8, 16,...) может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя правилами, называемыми рекурсивными:

1) ;

2) если , то .

Последний способ задания множества, этозадание описанием характеристических свойств, которыми должны обладать элементы множества. Обозначается:

М = { х|Р (х)} или М = { х: Р (х)}.

Читается так "Множество М состоит из элементов х таких, что х обладает свойством Р ". Например, множество B периферийных устройств персонального компьютера может быть определено, как B = { х: х – периферийное устройство персонального компьютера}.

Надежным способом точно описать свойство элементов данного множества является задание распознающей процедуры. Она должна устанавливать для любого объекта x, обладает ли он данным свойством Р (и, следовательно, принадлежит множеству) или нет. Например, распознающей процедурой для множества А всех студентов МГУПИ, имеющих студенческие билеты университета, является проверка его наличия. Тогда множество А может быть представлено более точно: " А – множество всех студентов, имеющих студенческие билеты МГУПИ".

Другой пример: для описания характеристического свойства элементов множества всех целых чисел, являющихся степенями двойки ("быть степенью двойки"), разрешающей процедурой может служить любой метод разложения целых чисел на простые множители.