2015-03-22
4725
Объединением множеств А и В (обозначается 
)называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A, B (рис. 2.2):
= { x: 
или 
}.
Пересечением множеств A и В (обозначается 
)называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А,и В (рис. 2.3):
= { x: 
и 
}.
Если общих элементов в множествах A и B нет, то = 
Пусть U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Дополнением (до U) множества А (обозначается 
) называется множество всех элементов, не принадлежащих A,но принадлежащих U (рис. 2.4):
= U \ A.
Операции объединения, пересечения и дополнения { 
} часто называют булевыми операциями над множествами, а алгебру множеств, в которой используются только эти операции, – булевой алгеброй множеств.
Рисунок 1.2 Диаграмма объединения множеств А и В
Рисунок 1.3 Диаграмма пересечения множеств А и В
Рисунок 1.4 Диаграмма дополнения множества А
В алгебре множеств, кроме рассмотренных операций, определены также операции разности, симметрической разности и прямого (декартова) произведения множеств.
|
|
|
Разностью множеств А и В (обозначается А \ В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 2.5):
А \ В= { x: 
и 
}.
Разность множеств – операция строго двуместная и некоммутативная: в общем случае
А \ В 
В \ А.
Разность множеств можно представить через пересечение и дополнение
A \ B = 
.
Рисунок 2.5 – Диаграмма разности множеств А и В
Симметрической разностью множеств А и В (обозначается А 
B)называется множество всех тех элементов А или B,которые не содержатся в A и В одновременно(рис. 2.6):
А В= { x: 
или 
, но 
}.
Рисунок 2.6 – Диаграмма симметрической разности множеств А и В
Прямое (декартово) произведение множеств A и B – это множество элементов в виде упорядоченных пар (a, b), где 
Для этой операции можно записать:
{(
)| 
}.
Элементы (
) называются кортежами (векторами, наборами, словами). В произведении могут участвовать более двух множеств. Количество множеств, участвующих в произведении, определяет длину кортежей.
Произведение множеств – операция некоммутативная:
,
В множествах А и В могут быть одинаковые элементы, поэтому и в кортеже могут оказаться одинаковые элементы, например как буквы в словах.
Если множество А умножается на себя, то можно записать:
, 
и т.д.
где А 2, А 3 – степени множества А.
Произведение двух множеств A = { a 1, a 2, a 3} и B = { b 1, b 2} можно представить в виде графика, показанного на рис. 2.7, где каждая вертикальная линия обозначена элементом из А, каждая горизонтальная линия элементом из В, а каждая жирная точка представляет пару (ai, bi).
|
|
|
Рисунок 2.7 – График произведения множеств А и В
Для примера, пусть универсальное множество U – множество всех сотрудников некоторой фирмы; А – множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; В – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:
1) 
; б) 
; в) 
;г) В \ С; д) С \ B?
2) 
– множество сотрудников организации, стаж работы которых не превышает 10 лет.
3) 
– множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.
4) 
– множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не менеджеров, стаж работы которых более 10 лет.
5) В \ С – множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.
6) С\ В – множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.
Или например осуществим операции объединения, пересечения, дополнения, разности и симметрической разности над множествами:
А = { a, b, c, d } и B = { с, d, e, f, g, h }.
Результат будет следующий:
= { a, b, c, d, e, f, g, h };
= { c, d }.
A \ B = { a, b };
B \ A = { e, f, g, h };
{ a, b, e, f, g, h }.
Универсальное множество U не определено, поэтому, строго говоря, операции дополнения над множествами A и В не могут быть выполнены. Но если принять в качестве универсального множества объединение множеств A и B:
U = { а, b, с, d, e, f, g, h }
тогда
= U \ А = { е, f, g, h },
= U \ B = { а, b }.
