Основные законы и тождества алгебры множеств

Основные законы алгебры множеств (булевой алгебры множеств) представляются в виде тождеств, в которых участвуют символы обозначений множеств, включая символы универсального и пустого множеств, и символы операций объединения, пересечения и дополнения.

Ассоциативный закон:

(X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z

(X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z

Коммутативный закон:

X Y = Y X

X Y = Y X

Закон идемпотентности (повторения):

X X = X

X X = X

Дистрибутивный закон:

(X Y) Z = (X Z) (Y Z)

(X Y) Z = (X Z) (Y Z)

Законы универсального U и пустого множеств (законы нуля и единицы 0, U 1):

X = X

X =

X U = U

X U = X

= U

= .

Законы исключенного третьего и противоречия:

X = U

X =

Законы де Моргана:

Закон двойного отрицания:

= X.

При работе с множествами могут оказаться полезными тождества, приведенные ниже. Однако они требуют доказательства. Доказать их можно, используя основные законы.

Дистрибутивный закон пересечения относительно разности:

Дистрибутивный закон пересечения относительно симметрической разности:

Дистрибутивный закон разности относительно пересечения:

Дистрибутивный закон разности относительно объединения:

Дистрибутивные законы объединения и пересечения относительно разности:

X \(Y Z) = (X \ Y) (X \ Z)

X \(Y Z) = (X \ Y) (X \ Z)

Представление пересечения и объединения через разность:

X Z = X \(X \ Z)

X Y = (X \ Y) (Y \ X) (X Y) = (X \ Y) (Y \ X) X \(X \Y)

Законы нуля и единицы для разности:

(X \ Y) (X Y) =

X \ = X \ U =

\ X =

U \ X =

X \ X = U

Законы поглощения:

Закон склеивания:

Свойства симметрической разности:

,

,

,

,

,

.