Модель одномерного кристалла. Акустические и оптические колебания

ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

Колебательное движение атомов в решетке определяет такие свойства твердых тел, как теплоемкость, теплопроводность, поглощение в инфракрасной области спектра и другие. Для объяснения этих свойств необходимо вычислить спектр колебаний решетки, однако для реального кристалла эта задача представляет значительные трудности, поэтому мы ограничимся некоторыми упрощенными моделями.

Теплопроводность решетки будет получена на основе фононной модели. Рассмотрены диффузия в кристаллах и основные типы дефектов.

Модель одномерного кристалла. Акустические и оптические колебания

Цепочка из атомов одного сорта. Рассмотрим колебание бесконечной цепочки одинаковых атомов массы , которые находятся на расстоянии друг от друга (рис.3.1, a). Силы, действующие между соседними атомами, предполагаются упругими, пропорциональными деформации (выполняется закон Гука[1]).

а)
б)
Рис.3.1. Цепочка из одинаковых атомов (а) и атомов разного сорта (б)

Если обозначить через смещение –го атома, то уравнение движения для него можно записать в виде

(3.1)

где – упругая постоянная.

Представим решение уравнения (3.1) в виде бегущей волны

. (3.2)

Здесь – волновое число, и вместо непрерывной координаты введена дискретная переменная . Подставляя (3.2) в (3.1), получим дисперсионное уравнение

(3.3)

Таким образом, частота колебаний атомной цепочки зависит от упругой постоянной , массы атома и длины волны колебаний . Волна с волновым вектором ( – параметр обратной решетки, – целое число) тождественна первоначальной. Поэтому можно ограничиться областью изменения от до . Эта область значений называется первой зоной Бриллюэна. На рис.3.2, a представлена дисперсионная кривая. Как видно, спектр бесконечной цепочки является непрерывным в границах от 0 до .

а	б
Рис. 3.2. Закон дисперсии для цепочки атомов одного сорта (а) и двух сортов (б)

Фазовая и групповая скорости распространения упругих волн являются функциями длины волны, другими словами имеет место дисперсия:

(3.4)

где – скорость звука.

Для больших длин волн () имеем . Таким образом, дисперсия отсутствует, цепочка атомов может рассматриваться как сплошная среда, скорость распространения колебаний достигает наибольшего значения – скорости звука.

Результаты расчетов в рамках грубой одномерной модели позволяют допустить, что по известной скорости обычных звуковых волн в кристалле можно оценить постоянную возвращающей силы , а, следовательно, и сжимаемость .

По мере уменьшения длины волны скорость распространения колебаний уменьшается, наблюдается значительная дисперсия и при групповая скорость падает до нуля, а частота достигает максимального значения

. (3.5)

Если цепочка атомов ограничена, то спектр колебаний становится дискретным, и в результате отражения от концов цепочки бегущие волны замещаются стоячими.

Цепочка из атомов двух сортов. Обратимся к более сложному случаю: линейной цепочке из атомов двух сортов (рис.3.1, 6). Уравнения движения для атомов с массой и координатой и атомов с массой и координатой имеют вид

(3.6)

Решение ищем в виде бегущих волн

(3.7)

Подставив (3.7) в (3.6), получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов А и В. Условиесуществование решения этой системы дает нам дисперсионное уравнение, которое имеет два корня

(3.8)

Графическая зависимость от представлена на рис.3.2, б. Как и в случае цепочки одинаковых атомов имеется корень , который вблизи =0 пропорционален . Соответствующее колебание называется акустическим. Соседние атомы и при акустических колебаниях смещаются в одном направлении (рис.3.3, а). Максимально возможная частота акустических колебаний не зависит от массы более легких атомов и равняется

(3.9)

а	б
Рис. 3.3. Смещение атомов при поперечных акустических (а) и поперечных оптических (б) колебаниях

Ветвь называется оптической. Подставляя значение в исходную систему уравнений, можно установить, что коэффициенты А и В имеют разные знаки. Следовательно, соседние атомы М и m смещаются в противоположных направлениях (рис.3.3 б). Вблизи =0 частота оптических колебаний равняется

. (3.10)

При этом фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая скорость – к нулю. С ростом частота уменьшается и стремится к своей нижней границе

(3.11)

для самой короткой из возможных длин волн . В этом случае тяжелые атомы остаются неподвижными, и волна распространяется за счет смещения легких атомов. Групповая скорость для предельной частоты стремится к нулю.

Оптическая ветвь колебаний может возникать не только в результате неодинаковости масс атомов. При равенстве масс оптические колебания возникают из-за различия расстояний между молекулами (или между атомами внутри молекул), поскольку это приводит к различию в коэффициентах упругой связи между ними.

Отсутствие решения для частот в интервале от до на границе первой зоны Бриллюэна (при ) свидетельствует о наличии щели (запрещенной зоны). Отношение масс атомов определяет как ширину запрещенной зоны, так и ширину оптической ветви. При малом отличии масс запрещенная область оказывается достаточно узкой, а отношение предельных частот оптической ветви приближается к . В случае, когда намного превышает , запрещенная зона будет широкой, а частоты оптических колебаний образуют узкую область.

Следует отметить, что и для акустической и для оптической ветви каждому продольному колебанию, при котором смещение атомов происходит вдоль направления распространения колебаний, отвечает два поперечных (смещение атомов происходит в ортогональном направлении по отношению к направлению распространения).