Решение. В нашей задаче имеется три этапа, на каждом из которых мы должны принять решение о реконструкции первого

В нашей задаче имеется три этапа, на каждом из которых мы должны принять решение о реконструкции первого, второго и третьего предприятия соответственно. Состояние системы на каждом этапе , , описывается наличием неизрасходованных денежных средств. Поскольку с самого начала у нас имеется 39 млн. рублей, и мы должны расходовать целое число миллионов, можно считать, что на каждом шаге количество неизрасходованных денег есть целое число от 0 до 39.

Выпишем функцию . Если к моменту принятия решения о реконструкции третьего предприятия известно, сколько осталось денег, то оптимальное решение очень простое ¾ мы проводим самую дорогую реконструкцию, какая нам доступна. Результат оформим в виде таблицы.

Теперь рассмотрим второе предприятие и вычислим функцию .

Пусть сначала . Тогда имеется единственная возможность , . Если , то имеется два доступных проекта по второму предприятию: проекты №1 и №2. При этом на реконструкцию третьего предприятия остается денег , поэтому прибыль последующих этапов равна 0. Имеем:

,

.

Следовательно, при , . Если , имеется три возможности:

,

,

.

Максимум из этих трех выражений достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то имеются следующие три возможности:

,

,

.

Максимум из этих трех выражений достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то:

,

,

.

Максимум достигается во второй строке, следовательно, , . Если , то все четыре проекта реконструкции на втором этапе становятся доступны.

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается во второй строке, следовательно, , . Если , то имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то тогда:

,

,

,

.

Максимум, по-прежнему, достигается в третьей строке, следовательно, , . Если , то тогда:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . При , имеем:

,

,

,

.

Максимум достигается во второй строке, следовательно, , . Если , то тогда:

,

,

,

.

Максимум достигается в третьей строке, следовательно, , . Наконец, при , то тогда:

,

,

,

.

Максимум достигается в четвертой строке, следовательно, , . Оформим полученные результаты в виде таблицы.

Остается рассмотреть первый этап. Начальное состояиние здесь ровно одно, . Посмотрим, какую суммарную прибыль мы получим, если примем каждой из четырех возможных решений о реконструкции первого предприятия. Получаем:

,

,

,

.

Максимум достигается в четвертой строке, следовательно, , . Теперь мы можем восстановить цепочку оптимальных решений по реконструкции всех трех предприятий. Первое предприятие мы реконструируем по проекту №4. При этом затрачиваем 22 млн. рублей, получая 45 млн. рублей чистой прибыли. К моменту принятия решения о втором предприятии нам остается распределить 39-22=17 млн. рублей, поэтому оптимальным является решение №3 (эта информация имеется в таблице, задающей функцию ). При этом мы затрачиваем 5 млн. рублей, получаем чистой прибыли 24 млн. рублей, и сохраняем 17-5=12 млн. рублей для реконструкции третьего предприятия. С этой суммой для реконструкции третьего предприятия мы выбираем проект №3, затрачивая 12 млн. рублей и получая чистой прибыли 37 млн. рублей. Суммарная прибыль 45+24+37=106 млн. рублей.