2015-03-22
4899
Введём обозначения для основных характеристик СМО:
1) n ¾ число каналов системы.
2) 
¾ плотность потока поступающих в систему заявок (количество заявок, которое поступает в систему за единицу времени).
3) 
¾ интенсивность обслуживания заявок одним каналом (количество заявок, которое обслуживает один канал в единицу времени).
4) 
.
5) 
- вероятность того, что занято i каналов, где 
= 1, 2, ¼, n (вероятности состояний системы).
Основные формулы:
1. Условие вероятностной нормировки
2. Вероятности состояний
, k = 1, 2, …, n.
3. Вероятность обслуживания заявки
.
4. Среднее число занятых каналов
Û 
.
5. Вероятность занятости произвольно взятого канала
.
6. Вероятность простоя канала
= 
.
Задача 8.1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок равно =20.Среднее время оформления заявки равно 1 мин. Считается, что если клиент позвонил, а телефон в это время занят, то он обращается в другую мастерскую (одноканальная СМО с отказом). Найти основные характеристики СМО.
|
|
|
1. Вероятности состояний системы: 
- вероятность того, что система свободна, 
- вероятность того, что система занята..
2. Вероятность обслуживания поступившей в систему заявки 
.
3. Среднее число (математическое ожидание) числа занятых каналов 
.
4. Среднее время простоя канала 
.
Проанализировать, как изменятся характеристики СМО, если создать ещё один канал обслуживания? С какой интенсивностью должны обслуживать операторы в двухканальной СМО, чтобы доля потерянных заявок составила менее 20%?
Решение. 1) Мы имеем одноканальную СМО с показателями 
; =20; 
(ч); 
. Показатель 
равен 
. Для нахождения 
, 
используем формулу: 
(k = 0; 1). Получаем: 
; 
.
2) Вероятность обслуживания заявки равна
3) Среднее число занятых каналов равно
= 
4) Найдём вероятность занятости канала 
(для одноканальной СМО 
)
5) Найдём среднее время простоя канала:
= 
(ч)
Рассмотрим теперь случай двухканальной СМО с отказом: 
; 
.
1) Пусть 
- вероятности наличия 0, 1 и 2 заявок, обслуживаемых системой. Тогда
k = 0,1,2
Вычислим 
. Найдём теперь вероятности состояний
, 
, 
.
2) 
=24/25=0.96
3) = 
=8/25=0.32
4) 
=0.16
5) 
(ч)
Найдём интенсивность обслуживания двухканальной СМО, при которой теряется не более 20% заявок. Заявка, поступившая в систему, теряется в том случае, если заняты все каналы. В нашем случае 
=0.2. Параметр 
остается неизменным, так как не зависит от внутренних характеристик системы. Новую интенсивность обслуживания обозначим 
. Значение параметра 
можно найти из уравнения 
, откуда следует, что 
. Решая полученное уравнение, получим 
, 
. Последний корень не подходит, так как 
. Итак, 
, 
, откуда 
. Таким образом, для того, чтобы терялось не более 20% поступающих заявок, каждый канал должен обслуживать более 20 заявок в течение часа.
|
|
|
Задача 8.2. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефонам. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с интенсивностью 
заявки в минуту. Заявка, поступившая в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Среднее время оформления заявки 0.5 мин. Найти следующие характеристики СМО:
1) pi - вероятность того, что занято i приемщиков (i = 0, 1, 2, 3, 4);
2) p обсл - вероятность того, что заявка будет принята;
3) 
- среднее число занятых приемщиков;
4) вероятность занятости каждого приемщика;
5) 
- среднее время простоя приемщика.
С какой интенсивностью должны работать два приемщика заявок, выполняя работу четырех человек, чтобы доля потерянных заявок осталась на прежнем уровне? Найти характеристики соответствующей двухканальной СМО.
Решение. Примем 1 минуту за единицу измерения времени. Имеем 
; 
= 0.5; 
; 
; 
.
1) Воспользуемся формулой
= 
.
Найдем 
=1+2+2+8/6+16/24=7. Следовательно, 
; =2/7; 
=2/7; 
=4/21; 
=2/21.
2) Вероятность того, что заявка будет принята, равна = 
= 1 - 2/21 = 19/21.
3) Вероятность того, что клиент уйдет не обслуженным, равна =2/21.
4) Среднее число занятых приемщиков
= =38/21 
1.81.
5) Обозначим вероятности состояний двухканальной системы: 
; 
; 
. Пусть 
- интенсивность работы канала в двухканальной системе (то есть количество клиентов, которых приемщик обслуживает за 1 мин.). Пусть 
. Поток целей для двухканальной системы имеет прежнюю интенсивность =4. Клиент остается не обслуженным в случае, если все приемщики заняты. Приравняем вероятности 
Û 
. После преобразований получим квадратное уравнение 
. Решая это уравнение, получим 
; 
<0. Отрицательное значение не отвечает смыслу задачи. Найдем из уравнения . Получим 
(клиентов в минуту). Вывод: того, чтобы доля необслуженных клиентов не возросла при сокращении числа приемщиков с четырех до двух, каждый приемщик должен повысить интенсивность своей работы более чем в 3 раза по сравнению с 4-х канальной системой, то есть за минуту обслуживать 6,56 клиентов вместо двух.
Задача. Рассмотрим работу платной телефонной справочной службы, имеющей 2 телефонные линии. За 1 час в среднем поступает 30 запросов, а один оператор может ответить на 20 запросов. Платная справка стоит 5 рублей, затраты на зарплату оператору и обслуживание одной телефонной линии составляют 30 рублей в час. Затраты на создание одной телефонной линии составляют 15000 рублей. Определить:
1) Прибыль телефонной справочной за 1 час работы.
2) За какое время окупятся затраты на оборудование?
3) Выгодно ли установить третью телефонную линию?
