Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба

Опр. Кривая называется выпуклой на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой на интервале (а, b), если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале (рис. 3.5).

Если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f(x) отрицательна (положительна), то кривая y = f ( x ) обращена выпукла (вогнута).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Пусть кривая определяется уравнением y = f ( x ). Если вторая производная f¢¢ ( a ) = 0 или f¢¢ ( a ) не существует и при переходе через точку

х = а меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.