Промежутки монотонности и знакопостоянства

Если функция f (x) имеет производную на отрезке [ a, b ] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ^/ (x) ³ 0.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ^/ (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ a, b ] (рис. 3.1).

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f (x) убывает на отрезке [ a, b ], то f ^/ (x)£0 на этом отрезке. Если f ¢ (x)<0 в промежутке (a, b), то f (x) убывает на отрезке [ a, b ] (рис. 3.2).

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b).