Плоская задача теории упругости в прямоугольных координатах

Все уравнения теории упругости значительно упрощаются, если решение задачи сводится к отысканию функции только двух переменных х и у.

В упругом теле возникает плоская деформация, если все перемещения будут происходить только параллельно плоскости хОу

u=u(x,y) v=v(x,y) w=0

Можно считать. что плоская деформация имеет место в длиной подпорной стенке или плотине, тоннеле метрополитена.

Из формул Коши следует:

Напряжения σ_z ≠0

Подставим эти выражения в формулы закона Гука.

Из полученных формул следует

τ_yz = τ_zy =0 σ_x = σ_x (x,y) σ_y = σ_y (x,y) τ_xy = τ_yx(x,y)

σ_z = σ_z (x,y)

Основные уравнения теории упругости упрощаются.

1.Уравнения равновесия

Условия на поверхности

Xν = σ_x l + τ_xуm

Yν = τ_уz l + σ_y m

2. Уравнения Коши

3.Уравнния сплошности

4. Формулы закона Гука

Для упрощения выражений вводятся новые упругие постоянные

Таким образом формулы закона Гука для случая плоской деформации имеют вид