Обобщенное плоское напряженное состояние

Z

В задаче о тонкой пластинке, загруженное по боковой поверхности силами, параллельными ее основанию и равномерно распределенными по толщине возможны упрощения, аналогичные упрощениям в задаче о плоской деформации. Этот случай называется обобщенным плоским напряженным состоянием.

В этом случае на основаниях пластинки напряжения σ_z τ_yz τ_xz равны нулю. Так как пластинка тонкая, то можно считать, что эти напряжения равны нулю и по всему объему а все остальные напряжения не зависят от координаты z.

Таким образом,

σ_z = τ_yz = τ_xz = 0

σ_x =σ_x(x,y) σ_y =σ_y(x,y) τ_xy = τ_xy (x,y)

Из третьего уравнения закона Гука

Основные уравнения упругости при сделанных предположениях имеют такой же вид, как и при плоской деформации, поэтому обе задачи объединяются в одну называемую плоской задачей теории упругости.

В плоской задаче неизвестными являются восемь величин три составляющих напряжения σ_x σ_y τ_xy, три составляющие деформаций ε_x ε_y γ_xy , две составляющие перемещений u v. Для нахождения неизвестных имеются два уравнения равновесия, три формулы Коши, уравнение сплошности и три формулы закона Гука

Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях. Функция напряжений.

При решении задачи в напряжениях за неизвестные принимаются напряжения σ_x σ_y τ_xy. Для отыскания трех функций имеются два дифференциальных уравнения равновесия к которым добавляется уравнение сплошности выраженное через напряжения с помощью закона Гука.

*

Исключим из уравнения касательные напряжения с помощью уравнений равновесия.

Подставив последнее равенство в формулу (*). получим

Сумма нормальных напряжений в плоской задаче тории упругости есть функция гармоническая.

Это уравнение носит название уравнения Мориса Леви.

В него не входят упругие постоянные и оно может применяться для двух случаев плоской задачи.

Для решения задачи имеем два уравнения равновесия и уравнение сплошности выраженное через напряжения.

Решение задачи упростится при ведении некоторой функции φ(x,y) следующим образом

Функция φ(x,y) называется функцией напряжений или функцией Эри.

При подстановке функции φ(x,y) в уравнения равновесия они тождественно удовлетворяются и для решения задачи имеется уравнение сплошности

(*)

Функция, подчиняющаяся уравнению (*) называется бигармонической функцией, а уравнением бигармоническим уравнением.

Бигармоническое уравнение в развернутом виде