Основные уравнения теории упругости

Для решения задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния имеются следующие дифференциальные уравнения

1. Группа статических уравнений - дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности

(1.1)

(2.1)

Xν = σ_x l + τ_xуm + τ_xzn

Yν = τ_уz l + σ_y m+ τ_уzn

Zν = τ_zx l + τ_zу m+ σ_zn

2. Группа геометрических уравнений- уравнения Коши

	(3.1)

- уравнения сплошности

		(4.1)

3ю Группа физических уравнений - закон Гука либо в прямой форме

	(5.1)

- закон Гука в обратной форме

Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций

- шесть составляющих напряжений

σ_x = σ_x(x,y,z) σ_y = σ_y(x,y,z) σ_z = σ_z(x,y,z)

τ_xy=τ_xy(x,y,z) τ_yz=τ_yz(x,y,z) τ_zx=τ_zx(x,y,z)

шесть составляющих деформации

ε_x = ε_x(x,y,z) ε_y = ε_y(x,y,z) ε_z = σ_z(x,y,z)

γ_xy=γ_xy(x,y,z) γ_yz=γ_yz(x,y,z) γ_zx=γ_zx(x,y,z)

и три составляющие перемещения

u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z)

Для отыскания этих неизвестных фикция мы располагаем тремя дифференциальными уравнениями равновесия (1.1), шестью формулами Коши (3.1) и шестью формулами закона Гука (5.1) или (6.1). Таким образом, с математической точки зрения задача может быть решена интегрированием 15 уравнений при удовлетворении условий на поверхности (2.1).

Ршение указанных уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные: