Применение теоремы Гаусса

1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Величину заряда, приходящуюся на единицу поверхности, называют поверхностной плотностью s:

(3.30)

Рис.3.11

Пусть плоскость заряжена положительно с поверхностной плотностью заряда +s=const. Из соображений симметрии силовые линии имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости и выходящих из положительных зарядов (рис.3.11).

Найдем напряженность в точке A (рис.3.12).

Рис.3.12

В соответствии с законом Кулона для нахождения величины

в т. A нужно плоскость разделить на точечные заряды и потом суммировать величины

, созданные каждым из этих зарядов. Эта процедура довольно сложная. Теорема Гаусса позволяет решить задачу по отысканию

очень просто. Через т. A нужно провести замкнутую поверхность и найти поток

через нее.

Поверхность обычно берут такой, чтобы максимально просто можно было бы вычислить ее площадь. В случае заряженной плоскости этой поверхностью является цилиндрическая, у которой образующая перпендикулярна плоскости. Поскольку линии перпендикулярны заряженной плоскости и угол aмежду вектором и нормалью к основаниям цилиндра равен нулю, следовательно, cosa=1. Для боковой же поверхности . Угол a’=90°, следовательно, cosa=0 и .

Итак, общий поток вектора через замкнутую цилиндрическую поверхность равен сумме потоков через два основания и и потоку через боковую поверхность :

(3.31) где - берем элементарные площадки одинаковой величины.

Суммарный заряд внутри цилиндра . Тогда по теореме Гаусса запишем:

и получаем:

(3.32)

Найдем разность потенциалов поля между точками 1 и 2 на расстоянии x₁ и x₂ от плоскости:

откуда получим:

(3.33)

2. Поле бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью l

Линейная плотность заряда – заряд, приходящийся на единицу длины:

(3.34)

Рис.3.13

Для нахождения

в т. Aудобно выбрать замкнутую поверхность в виде цилиндра (рис.3.13). Линии

перпендикулярны нити, следовательно, поток вектора

будет только через боковую поверхность цилиндра. Тогда

Следовательно,

. (3.35)

Разность потенциалов между точками 1 и 2 поля, лежащими на расстоянии r₁и r₂ от оси цилиндра:

(3.36)

3. Поле заряженной сферической поверхности

Рис.3.14

Проводим вокруг полой металлической сферы сферическую поверхность радиусом r_A (рис.3.14). Поток вектора через эту поверхность

Тогда

или

(3.37)

Из (3.37) видно, что выражение для получилось таким же, как и для точечного заряда.

Внутри сферы, например в т.B, величина =0, т.к заряд внутри сферы, проведенной через т. B, равен нулю. Величина и .

Разность потенциалов

(3.38)

Шар, представляющий собой диэлектрик, может быть внутри равномерно заряжен с объемной плотностью . Поток вектора через поверхность радиусом r<R (R – радиус шара) равен . Заряд внутри сферы радиусом r равен: .

По теореме Гаусса

и (3.39)

За пределами равномерно заряженного шара выражение для E_A будет таким же, как и полученное нами для полой сферы , только величина q будет равняться rV: