Линейные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию yи ее производную в первой степени

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную в первой степени, т.е. имеет вид:

+ P (x) y = Q (x) (10.7)

В частном случае P (x) и Q (x) могут быть постоянными числами.

Если Q (x) , то уравнение (10.7) принимает вид + P (x) y = 0и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Если же Q (x) , то уравнение (10.7) называется линейным неоднородным.

Методы решения:

1. Метод вариаций произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ), сначала находим общее решение соответствующего линейное однородное дифференциального уравнения (ЛОДУ).

Запишем ЛОДУ в виде .

В предположении y ¹0 разделим переменные .

Проинтегрировав и выполнив преобразования, получим

(10.8)

Это и есть общее решение ЛОДУ.

Решение ЛНДУ будем искать в том же виде, что и решение ЛОДУ, предполагая, что постоянная С является функцией переменного x.

(*)

Подставив выражение (*) в (10.7), мы найдем С (х):

, т.е. .

Подставим полученное С (х) в (*) и получим общее решение уравнения (10.7):

, С₁ _.

2. Метод подстановки (метод Бернулли).

Решение уравнения (10.7) ищется в виде , где u (x) и v (x) неизвестные функции. В этом случае линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, откуда и определяются вспомогательные функции u и v.

Подставляя выражения для y и в (10.7), получим или

(10.9)

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например u (x), можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы , т.е. в качестве u (x) возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными, например, .