№4. Найти общее решение уравнения (х+у) dx–xdy= 0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,
P (λx, λy) =λx+λy=λ (x+y) = λP (x,y), Q (λx, λy) = –λx=λ (–x) =λQ (x, y).
Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим
(х+uх) dх–х (хdu+udх) = 0, откуда хdх + uхdх–х 2 du–хudх= 0; х dх–х 2 du= 0 или dх–хdu= 0.
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим
, .
Заменяя в полученном выражении u на , получим у=x ln (Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):
. Иначе . Далее применять указанную выше подстановку и т.д.
№5. Найти общее решение уравнения: .
Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):
Полагая у = uх, находим Подставим значения в данное уравнение: . Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные и интегрируя, находим:
.
Подставим теперь в полученное решение. Имеем где .
Итак, общее решение исходного уравнения
№6. Найти частное решение уравнения если у=– 1 при х= 1.
Решение. Перепишем уравнение в виде
х 2 dy = (xy + y 2 ) dx (*)
и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем
х 2 (udх + хdu) = (х.uх+u 2 х 2 ) dх;
x 2 (udx+xdu) =x 2 (u+u 2 ) dx;
udx+xdu= udx+ u 2 dx; т.е.
xdu= u 2 dx.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим
.
Так как u = , то .
Используя начальные условия х =1, у = –1,имеем1=ln1 + C, откуда С =1. Следовательно,
,
Отсюда получаемискомое частное решение данного уравнения .
№7. Привести дифференциальное уравнение
к однородному.
Решение. Иначе это уравнение можно записать так . Здесь , поэтому положив x=u+α, y=v+β, получаем (u+β+ 2 ) du– ( 2 u+ 2 α+v+β+ 6 ) dv= 0, т. е.
(u+ (β+ 2 )) du –( 2 u+v+ ( 2 α+β+ 6 )) dv= 0.
Подберем α и β так, чтобы Решая систему, находим
α= – 2, β= – 2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): , т.е. является однородным.