Однородные уравнения первого порядка. Функция f(x, y) называется однородной функцией степени n, гдеn – целое число, если при любом λимеет место тождество f(λx

Функция f (x, y) называется однородной функцией степени n, где n – целое число, если при любом λ имеет место тождество f (λx, λy) = λⁿf (x, y).

Например, f (x,y) = – однородные функции соответственно первой, нулевой и четвертой степени.

Дифференциальное уравнение вида

P (x, y) dx+Q (x, y) dy= 0 (10.5)

называется однородным, если P (x, y) и Q (x, y) – однородные функции одинаковой степени.

Уравнение (10.5) может быть приведено к виду

(10.6)

и при помощи подстановки т.е. y=ux, где u = u (x) – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применять подстановку , т.е. x = uy.