Периодические функции

Пусть f определена на множестве Х. Если существует такое, что числа также принадлежат множеству Х и , то функцию f называют периодической с периодом .

Примеры:

1) периодическая с периодом где ;

2) периодическая с периодом где ;

3) дробная часть числа: - периодическая, .

Установление факта периодичности функции существенно облегчает ее изучение и построение графика: периодическую функцию можно исследовать в пределах одного периода. Для построения графика периодической функции с периодом достаточно построить график этой функции на интервале , а затем полученный график периодически продолжить. Рассмотрим некоторые примеры на установление периодичности функции.

Пример.

Существует ли такое , чтобы для всех действительных х выполнялосьусловие

Имеем , , это выполняется при . Следовательно, такие существуют, функция является периодической, наименьший ее положительный период .

Пример 2. .

Имеем или - периодическая функция с периодом .