1)
2) Т.к. приращение функции двух переменных
приближенно равно дифференциалу этой функции при и : ,
то .
Т.е. .
Имеем ; ; ;
; ; ; ; . Итак, приближенные значения функции в точке
.
3) Найдем относительную погрешность при замене на :
4) Т.к. уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид ;
то имеем или
Задача 13. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области , заданной системой неравенств , . Сделать чертеж.
Решение. Найдем стационарные точки функции внутри области , решая систему . Имеем, , , тогда решение системы есть точка . Но она не входит в область .
Исследуем теперь поведение функции на границе области . Найдем сначала стационарные точки функции внутри отрезков границы области.
а) Уравнение стороны прямоугольника: .
На стороне функция .
Найдем стационарные точки внутри отрезка
при
б) Уравнение стороны : .
На стороне прямоугольника функция .
, т.е. стационарных точек нет.
в) Уравнение стороны : .
На стороне прямоугольника функция .
|
|
при , т.е. внутри отрезка стационарных точек нет.
г) Уравнение стороны : .
На стороне функция , , т.е. стационарных точек нет.
Итак, функция не имеет стационарных точек ни внутри области , ни внутри отрезков границы области .
Найдем значения функции в вершинах прямоугольника и выберем среди них наименьшее и наибольшее.
.
Итак, ,
Задача 14. Даны функция , точка и вектор . Найти:
1) в точке ;
2) производную в точке по направлению вектора .