2015-03-07
463
1) 
2) Т.к. приращение функции двух переменных
приближенно равно дифференциалу этой функции при 
и 
: 
,
то 
.
Т.е. 
.
Имеем 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; 
. Итак, приближенные значения функции в точке 
.
3) Найдем относительную погрешность 
при замене 
на 
:
4) Т.к. уравнение касательной плоскости к поверхности 
в точке 
имеет вид 
;
то имеем 
или 
Задача 13. Найти наименьшее и наибольшее значение функции 
в замкнутой области 
, заданной системой неравенств 
, 
. Сделать чертеж.
 |
Решение. Найдем стационарные точки функции внутри области , решая систему 
. Имеем, 
, 
, тогда решение системы 
есть точка 
. Но она не входит в область .
Исследуем теперь поведение функции на границе области . Найдем сначала стационарные точки функции внутри отрезков границы области.
а) Уравнение стороны 
прямоугольника: 
.
На стороне функция 
.
Найдем стационарные точки внутри отрезка 
при 
б) Уравнение стороны 
: 
.
На стороне прямоугольника функция 
.
, т.е. стационарных точек нет.
в) Уравнение стороны 
: 
.
На стороне прямоугольника функция 
.
при 
, т.е. внутри отрезка 
стационарных точек нет.
г) Уравнение стороны 
: 
.
На стороне функция 
, 
, т.е. стационарных точек нет.
Итак, функция не имеет стационарных точек ни внутри области , ни внутри отрезков границы области .
Найдем значения функции в вершинах прямоугольника 
и выберем среди них наименьшее и наибольшее.
.
Итак, 
, 
Задача 14. Даны функция 
, точка 
и вектор 
. Найти:
1) 
в точке 
;
2) производную в точке 
по направлению вектора 
.
