Уточнение исходных данных

Если объектом исследования при проектировании выступает функциональный узел РЭУ, то возникает необходимость выяснить по литературе или техническим условиям справочные данные о параметрах элементов и их производственном, иначе технологическом, разбросе. Для многих типов полупроводниковых приборов и интегральных микросхем, а в некоторых случаях и для других элементов норма на параметры задаётся в виде нижнего или верхнего предельного отклонения параметра. Например, для операционных усилителей записи могут быть такими: «входное сопротивление не менее... кОм», «коэффициент усиления не менее...». Для биполярных транзисторов можно встретить записи вида «обратный ток коллектора не более... мкА», «коэффициент передачи тока в схеме с общим эмиттером не менее...» и при необходимости указывается электрический режим измерения параметров. В приведённых записях многоточие (...) означает конкретное число.

Для того чтобы выполнять математическое моделирование указанных параметров или расчёт каких-то показателей РЭУ с использованием значений этих параметров, необходимо знать основные количественные характеристики каждого параметра: математическое ожидание (обозначим его как m) и среднее квадратическое отклонение (обозначим через σ). Покажем, как можно получить ориентировочные значения m и σ. Сделаем это на примере входного сопротивления R_вх операционного усилителя 140УД9. Для него, согласно справочнику [19 ], R_вх составляет не менее 300 кОм.

Легко убедиться, что это значение является нижним предельным отклонением. Воспользуемся гипотезой о нормальном законе распределения параметра R_вх. Тогда значение R_вх = 300 кОм можно рассматривать как точку m -3 σ (рис. 6.1) и, следовательно, можно записать уравнение m -3 σ = 300. Но этого недостаточно, чтобы найти неизвестные характеристики m и σ. Поэтому дополнительно воспользуемся следующим обстоятельством. Известно, что для параметров полупроводниковых приборов и интегральных микросхем в большинстве случаев справедливо следующее отношение:

Рис. 6.1. Иллюстрация к определению вероятностного описания параметра Rвх

Причём значения отношения, близкие к 0,1, характерны для параметров, имеющих небольшой производственный разброс (потребляемый ток, уровень логической единицы и др.), а значения, близкие к 0,3, - для параметров, имеющих большой разброс (обратные токи р-п переходов, напряжение насыщения коллектор-эмиттер и др.). В данном примере, приняв отношение (σ / m) = 0,2, можно составить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту систему уравнений, получим значения т и а, которыми можно пользоваться в дальнейшем инженерном анализе - при моделировании или в расчётах: m = 750 кОм; σ = 150 кОм.

В курсовых проектах, предусматривающих анализ систем массового обслуживания, информация о характере поступления и обслуживания заявок может быть задана в неявном виде, например, записью «экспериментально с использованием наблюдения 20 заявок для времени t между приходом двух соседних заявок получено: среднее значение M(t) =10 мин 50 с, среднее квадрати-ческое отклонение σ (t)=9 мин 45 с». Используя эту информацию, необходимо принять решение о законе распределения времени t. Видно, что в данном случае M(t) и σ(t) отличаются незначительно. И возможно, что это расхождение является следствием ограниченного числа наблюдаемых заявок. В то же время известно [б], что для экспоненциального закона распределения любого параметра (обозначим как х) справедливо равенство М(х)= σ (х).

Поэтому в нашем случае нужно доказать, что расхождение между M(t) и σ (t) является следствием ограниченного числа наблюдаемых заявок. Для этого для величины M(t) необходимо построить доверительный интервал I_γ^(M), соответствующий доверительной вероятности у. При решении подобных задач обычно выбирают γ =0,95. Доверительный интервал I_γ^(M) можно построить методом* описанным в [1, с. 33-36]. Используя формулу (2.24) учебника [1], получим

I_γ^(M)= 6 мин 34 с; 15 мин 06 с).

Как видно из рис. 6.2, в данном случае доверительный интервал I_γ^(M накрывает точечную оценку величины σ(t). Следовательно, расхождение между M(t) и σ(t) является статистически не значимым и может быть принята гипотеза об экспоненциальном законе распределения времени.

Рис. 6.2. К вопросу о статистическом расхождении величин M(t) и σ(t)

Если доверительный интервал I_γ^(M) не накрывает точечную оценку величины σ(t), то это ещё не является основанием сразу отбросить гипотезу об экспоненциальном законе распределения времени t между приходом двух соседних заявок. В таких случаях нужно построить доверительный интервал и для величины σ(t), например методом, описанным в [6, разд. 14]. Если доверительные интервалы, построенные для величин M(t) и σ(t), не перекрываются, то тогда нет оснований для времени t принять экспоненциальный закон распределения. В этом случае для принятия закона распределения нужны другие подходы, например анализ наблюдаемых значений t.

Выбор закона распределения для времени обслуживания заявок делается аналогично.

В технической документации на элементы РЭУ нередко информация о коэффициентах старения (КС) и температурных коэффициентах (ТК) задаётся не в явном виде, а, например, в виде записи «изменение ёмкости конденсаторов при эксплуатации в течение 2000 ч не более чем на минус 5%». Запись означает, что реальное относительное изменение ёмкости является случайной величиной и будет находиться в диапазоне 0...5%. Чтобы решить инженерную задачу, необходимо знать среднее значение (математическое ожидание) М (КС) и среднее квадратическое отклонение σ (КС) или же половину поля рассеивания δ (КС) величины КС. Из приведённой выше записи легко определить эти характеристики. Так, согласно записи предельные значения относительного отклонения ёмкости составляют:

Тогда предельными отклонениями КС емкости будут значения:

Среднее значение и половину поля рассеивания КС можно определить как (рис. 6.3)

Рис. 6.3. Распределение коэффициента старения (КС) ёмкости конденсатора

Приняв гипотезу о нормальном распределении КС, можно определить среднее квадратическое отклонение:

Полученные характеристики М(КС), σ(КС) или δ(КС) справедливы для времени работы 0...2000 ч. Если в задании на проектирование время работы больше значения 2000 ч, например 10000 ч, то, предположив, что за пределами времени 2000 ч закономерность изменения ёмкости будет такой же, в дальнейшем анализе или при моделировании можно пользоваться полученными значениями М(КС), σ(КС) или δ(КС).

Если в технической документации на элементы информация о КС или ТК сразу задана нижним и верхним предельными отклонениями, например, записью «температурный коэффициент ёмкости конденсатора составляет (-4...+1)10" % 1/°С во всём диапазоне рабочих температур», то характеристики М(ТК), 5(ТК) или а(ТК), необходимые для анализа и (или) моделирования, могут быть также получены с использованием описанного подхода:

М (ТК)=1,5·10^-2% 1/ºC; δ(TK)=2,5·10^-2% 1/ºC; σ(TK)≈0,833·10^-2% 1/ºC;