Определение требуемого числа реализаций

Подход к определению требуемого числа реализаций РЭУ или процесса (ранее обозначено как N) зависит от того, что представляет собой интересующий показатель (выходная характеристика): среднее значение какой-то величины или вероятность определённого события.

Если интересующий показатель представляет собой среднее значение какой-то величины, например, среднее значение выходного параметра для тем, предусматривающих анализ точности и стабильности выходного параметра, или среднее время безотказной работы для тем, предусматривающих определение показателей безотказности, то для определения N можно воспользоваться формулой [1, с. 36,108]

(6.1)
где t _γ – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности γ (табл. 6.2);

σ (y) – среднее квадратическое отклонение (СКО) выходного параметра или времени безотказной работы, в общем случае - СКО случайной величины (обозначено как y), представляющей рассматриваемый показатель для j-й реализации РЭУ, процесса;

Δ – допустимая ошибка в определении среднего значения (М) рассматриваемого показателя по результатам моделирования (рис. 6.6).

Таблица 6.2

Значения коэффициента гу в зависимости от доверительной вероятности γ

t _γ	0,8	0,85	0,9	0,95	0,9973	0,999
γ	1,282	1,439	1,643	1,960	2,576	3,290

Значение σ (y) обычно неизвестно. В этом случае выполняют некоторое число реализаций РЭУ или процесса ЭД и подсчитывают оценку СКО σ *(y) по классической формуле [1, с.32]

(6.1)

Рис. 6.6. Смысл допустимой ошибки Δ: М - истинное математическое ожидание (среднее значение) показателя; M * - оценка математического ожидания показателя

где y_j — значение рассматриваемого показателя в в j -й реализации РЭУ или процесса;

M *(y) — оценка математического ожидания (среднего значения) показателя, полученная с иcпользованием N ₁ реализации.

Причём в качестве значения N ₁ необходимо взять как минимум 500-1000 реализаций, поскольку выполняется математическое моделирование и затраты минимальны и слабо зависят от числа реализаций. Подсчитав оценку σ (y) по выражению (6.2) проверяют, выполняется ли условие (6.1). Если условие выполняется, то сделанное число реализаций N ₁ уже достаточно. В противном случае проводят дополнительное число реализаций, уточняют значение σ* (y) и снова проверяют условие (6.1), и так до тех пор, пока условие не будет выполнено.

При определении дополнительного числа реализаций вначале находят величину ΔN = N- N _1, где N - значение, полученное при проверке условия (6.1), а затем округляют её в большую сторону до ближайшей тысячи. Во всех случаях желательно, чтобы выбираемое дополнительное число реализаций было больше найденной величины ΔN на 10-20%.

На требуемое число реализаций N заметно влияет допустимая ошибка Δ, см. формулу (6.1). Значение Δ, как правило, заказчиком не указывается. Выбор этой величины должен быть сделан разработчиком, т.е. студентом в процессе курсового проектирования.

Если интересующими показателями являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение σ (y) выходного параметра РЭУ или технологического процесса, то выбор значения Δ может быть сделан так. Исходя из начальных сведений или же по результатам обработки N ₁ реализаций определяют примерное значение М (у). Далее, принимая во внимание функциональное назначение РЭУ или процесса и физический смысл выходного параметра у, определяют, какое значение половины поля допуска δ(у), устанавливаемое на этот параметр, может быть приемлемым для практики. В качестве Δ следует взять такое значение, которое как минимум в 20... 100 раз меньше δ(у):

Δ≤(0,01...0,05) δ(у). (6.3)

Предположим, что у есть выходное напряжение источника питания U _вых. По результатам обработки N ₁ реализаций получено М* (у) ≈ 4,95 В. Исходя из служебного назначения величина δ(у) должна составлять не более 5%:

δ(у) ≤ (5/100)·4,95≈0,25В.

Тогда

Δ ≤ (0,01...0,05)·0,25=(0,0025...0,0125) В.

Если интересующим показателем является среднее время безотказной работы T _ср, то можно поступать так. Вначале определить примерное значение (порядок) величины T _ср, например, исходя из каких-то начальных сведений или же по результатам обработки N ₁ реализаций РЭУ. Далее в качестве значения Δ взять не более 1-2% величины T _ср. Если значение N оказывается чрезмерно большим (N →50... 100 тыс.), то Δ может быть увеличено, но в любом случае оно должно составлять не более (5... 10)% величины T _ср. Предположим, что оценка величины T _ср составила 6709 ч. Тогда 1-2% от значения T _ср составляют 67- 134 ч. Следовательно, в качестве Δ можно взять значение 100 ч. Не следует брать значения Δ =85 или 65 ч. Обычно выбирают круглые числа. При более жестких требованиях к точности T _ср можно взять Δ =50, 20 или 10 ч. Брать значение Δ меньше 10 ч не имеет смысла.

Описанный метод выбора Δ целесообразно использовать в тех случаях, когда оценка среднего значения у не может быть сделана по математической модели РЭУ или процесса до начала моделирования из-за наличия корреляции между первичными параметрами или по другим причинам.

Если среднее значение параметра может быть рассчитано по математической модели, то при определении числа реализаций необходимо учесть допустимую ошибку в определении среднего квадратического отклонения σ (y). Эта ошибка может оказаться принципиальным фактором при установлении в дальнейшем допуска на выходной параметр. Число реализаций в этом случае согласно [6, с.323-324] может быть найдено из условия

(6.4)

где Δ _у – допустимая ошибка в определении среднего квадратического отклонения выходного параметра РЭУ или процесса.

Значение Δ выбирают так. Принимая во внимание функциональное назначение РЭУ и физический смысл выходного параметра у, определяют, какое значение половины поля допуска δ(у), устанавливаемое на этот параметр, является приемлемым для практики. В качестве Δ берут значение, отвечающее условию (6.3). После этого с использованием выражения (6.4) уточняют N.

В курсовых проектах по оценке безотказности РЭУ и определению характеристик СМО приходится определять показатели, представляющие собой вероятности событий: вероятность безотказной работы РЭУ за заданное время Р (t ₃), вероятность необслуживания Р _необ и вероятность простоя -Рщюсг СМО. Эти вероятности определяют, используя результаты всех N реализаций РЭУ или всех смоделированных заявок, поступающих в СМО. Пользуются, по сути, классической формулой для вычисления статистической вероятности, называемой также частотой [6]:

(6.5)

где Р*(А) - статистическая вероятность события А: безотказной работы РЭУ за время t ₃, необслуживания заявки СМО или простоя СМО за интересующий период времени, например рабочую смену;

n – общее число произведённых опытов (в нашем случае реализаций);

m – число опытов, в которых появилось событие А.

Если рассматриваемые вероятности не слишком велики и не слишком малы, а число реализаций сравнительно велико, то для определения нижней Р _н, и верхней Р _в доверительных границ для вероятности Р (А) справедливы формулы [6, с. 333]

(6.6)

(6.7)

где t _γ - коэффициент, соответствующий доверительной вероятности γ (см. табл. 6.2);

Р ^*= Р ^*(А).

В формулах (6.6), (6.7)

(6.8)
где АР - расстояние от точечной оценки Р" до границ доверительного интервала.

Приняв ошибку Δ от замены вероятности Р (А) частотой Р ^*(А) равной значению Δ Р формулы (6.8), требуемое число реализаций N можно определить как

(6.9)

В этом случае выполняют некоторое число реализаций РЭУ, процесса или СМО N ₁ и подсчитывают оценку Р ^* по классической формуле (6.5).

Причём значение N ₁ необходимо взять по меньшей мере равным 500-1000 реализациям, поскольку выполняется математическое моделирование и, как отмечалось ранее, затраты минимальны и слабо зависят от числа реализаций. Подсчитав оценку Р ^* по выражению (6.5), проверяют, выполняется ли условие (6.9). Если условие выполняется, то сделанное число реализаций N ₁ уже достаточно. В противном случае выполняют дополнительное число реализаций, уточняют значение Р ^* и снова проверяют условие (6.9), и так до тех пор, пока условие не будет выполнено.

При определении дополнительного числа реализаций следует руководствоваться подходом, описанным ранее применительно к определению N в случае среднего времени безотказной работы.

При выборе значения Δ= Δ Р необходимо принять во внимание смысл и диапазон приемлемых для практики значений вероятности Р (А) влияние её изменений на возможные технические и экономические потери при функционировании РЭУ или СМО. В первом приближении при выборе Δ можно руководствоваться условием

Δ≤(0,001…0,01). (6.10)

Формулой (6.9) можно пользоваться при больших (порядка сотен) N, если только вероятность Р не слишком велика и не слишком мала, в частности, когда произведения РN и (1- Р) N порядка 10 или более [6].

Если интересующие вероятности слишком велики или слишком малы (хотя бы одно из произведений РN или (1- Р) N меньше десяти), то нужно использовать подход, описанный в [6, с. 334-336], или пользоваться статистическими таблицами, приведенными в [16].

В случаях, когда при проведении N₁ реализаций событие А не произошло ни разу (например отказ заявке в обслуживании), требуемое число реализаций N можно определить, пользуясь формулой

(6.11)