Литература.[1], гл.XI, § 1-5, 6 (пример можно пропустить), упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.
Пример. Вычислить .
Решение. Так как интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, то
2. Геометрические приложения определенного интеграла
Литература. [1], гл.XII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий
Рис.1.
Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями , , , (обозначим эту площадь через S1) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S2). Таким образом
S = S1 – S2
Площадь S2 может быть вычислена с применением определенного интеграла
ед 2.
Площадь S1 можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S1 как интеграл
.
Теперь можно вычислить и искомую площадь
S = S1 – S2 = 12 – 5 ln5
|
|
Ответ: S =12 – 5 ln5 ед 2.
Пример 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой .
Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .
Рис. 2.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где
, .
.
Ответ: .