Степенные ряды. Пример. Определить интервал сходимости ряда

[2, гл. XVI, § 13, упр. 30, 31, 35-37].

Пример. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Коэффициенты ряда Ищем радиус сходимости

Следовательно, ряд сходится при <1 и расходится при >1. Исследуем отдельно точки

1) В этой точке ряд равен

Используем интегральный признак сходимости. Заменим . Тогда

ряд расходится.

2) В этой точке ряд равен

т.е. ряд знакочередующийся. По теореме Лейбница он сходится, действительно, здесь

1) > т.е. > .

2)

Ряд сходится. Интервал сходимости < 1 или .