Цель курса. Основные понятия и определения

Основные понятия и определения

Целью изучения дисциплины «Математические модели и методы в расчетах на ЭВМ» является приобретение навыков составления математических моделей по словесному описанию исследуемого объекта, а именно:

- в соответствии с постановкой задачи составить математическое описание;

- среди выходных параметров исследуемого объекта выбрать критерий оптимальности, для которого записать выражение целевой функции;

- выбрать метод решения, на основе которого разработать модель решения;

- выбрать среду программирования или математический пакет и выполнить программирование, получить выходные результаты;

- суметь оценить полученные результаты и по ним сделать вывод о качестве разработанной математической модели.

Модель - это упрощенная копия объекта, сохраняющая его важнейшие свойства необходимые для решения поставленной задачи.

Моделирование - это способ описания изучаемой системы (оригинала) в упрощенном виде (модели) и использование полученной модели для изучения свой оригинала.

Наибольшее распространение получили физические и аналоговые модели. Например, планетарий - это физическая модель вселенной, лотки с водой могут быть физической моделью гидроэлектростанции. Физическое моделирование имеет ограниченные возможности, т. к. не всегда его можно использовать. Для этого достаточно указать такие объекты как организационные, технологические, вычислительные системы, производственные процессы, которые практически не допускают своих физических аналогов. Аналоговые модели имеют физическую природу, отличную от оригинала, но они имеют сходные с оригиналом процессы функционирования. Аналоговые модели, например, используются при исследовании свойств вычислительной техники, функционирования систем, описывающихся системами дифференциальных уравнений и др. Пружинный маятник может являться аналоговой моделью для изучения колебаний основных характеристик электрической цепи переменного тока, поскольку оба процесса описываются одинаковыми уравнениями колебаний [31].

Математическое моделирование является разновидностью аналогового и основано на построении математической модели.

Под математической моделью будем понимать концентрацию наших знаний, представлений и гипотез об оригинале, записанную с помощью математических соотношений. Или иначе, математическая модель - это система упрощенных предположений об объекте, допускающих математическую формализацию и применяемых, когда точные закономерности неизвестны или сложны.

Для построения математических моделей используют весь обширный математический аппарат:

- линейные уравнения и системы уравнений;

- дифференциальное и интегральное исчисление;

- теорию вероятности и математическую статистику;

- методы скалярной и векторной оптимизации;

- теорию алгоритмов;

- методы структурного программирования и др.

В свою очередь математические модели подразделяются на дескриптивные (описательные) и оптимизационные. Дескриптивные модели служат для описания и прогнозирования объекта (процесса, системы). Цель оптимизационных моделей - найти оптимальное воздействие на объект (процесс).

Различают микро- и макромодели. Микромодель – модель отдельных частей объекта, макромодель – модель объекта в целом. Система микромоделей детальней, чем макромодель.

Метамодель – модель рассматриваемого объекта с учётом его взаимодействия с внешней средой.

Преимуществом математического моделирования над физическим моделированием является то, что одна и та же модель может характеризовать объекты различной природы. Например, дифференциальное уравнение второго порядка [26]:

. (1.1)

Рис. 1.1 - Пружинный маятник

Решив дифференциальное уравнение, получим функцию z(t), которая будет характеризовать нахождение координаты центра тяжести груза в любой момент времени t (рис.1.1):

, (1.1)