Модель описания. Модель решения. Алгоритмическая модель. Программная модель

Эти модели представляют собой различные способы описания одних и тех же свойств в объект на разных фазах процесса моделирования от постановки задачи (словесного описания) до получения итоговых результатов (рис. 1.7).

Рис. 1.7 - Схема взаимодействия моделей по назначению

Словесное описание объекта не является моделью, а является исходными данными (или представлением объекта) к рассмотрению.

Модель описания - это переложение на математический язык словесного описания (или описание в виде математических символов свойств объекта, изложенных в словесном описании).

Пример: Маша собрала 2кг грибов, Саша – на 1 кг больше. Сколько они собрали вместе? Аналитическое описание имеет вид:

(1.6)

Модель решения - это набор зависимостей и правил, в виде математических выражений, указывающих способ получения решения задачи.

Существует три основных типа модели решения.

Аналитическая модель решения - представление искомой величины в виде явной зависимости через исходные данные.

Например: (для рассмотренной выше задачи). Аналитическая модель решения будет иметь вид:

(1.7)

; (1.8)

(1.9)

где - столбец свободных членов,

По методу определителей для решения системы линейных уравнений (или его еще называют метод Крамера):

Численная модель решения – это набор выражений, позволяющих получить решение в виде совокупности чисел. Решение в этом случае получаем приближенное. Данная модель применяется, если аналитическая модель очень сложно или ее просто не существует. В качестве примера можно привести метода Ньютона для решений уравнений вида в практике.

Пусть выбор точки начального приближения .

Рекуррентная формула имеет вид:

. (1.10)

В результате получаем последовательно решение x_k - решение приближенное, т.е. . Решение будет тем точнее, чем меньше заданная погрешность.

Имитационная модель решения – переложение на язык персонального компьютера (ПК) формальных правил, по которым функционирует объект моделирования согласно словесному описанию или аналитической модели описания. Эти правила позволяют при заданных входах определить выходные параметры. Данная модель используется для решения очень сложных задач, для которых, как правило, невозможно составить аналитическую модель описания, а существует лишь словесное описание.

Алгоритмическая модель – запись модели решения в виде алгоритма (блок схемы).

Программная модель – запись алгоритма в одном из языков программирования.

1.8 Теоретическая модель. Эмпирическая
(экспериментальная) модель

Теоретическая модель, полученная как следствие некоторых фундаментальных законов природы или из некоторых других результатов исследования возведенных в ранг теории.

Экспериментальная модель, полученная с помощью математической обработки результатов экспериментов, проведенных на объекте.

Пример: получим уравнение (модель) равноускоренного движения двумя способами.

Рассмотрим теоретический способ решения задачи. В качестве отправной точки (исходных данных) возьмем два закона (два определения).

1) Определение ускорения – ускорение это вторая производная координаты по времени:

Ускорение (или или ).

2) Движение называется равноускоренным, если его ускорение равно a=const.

Тогда из 1 и 2 можно записать, что , при и , получим - теоретическая модель равноускоренного движения.

Обычно плохообусловленная модель – это результат каких-то ошибок (например, экспериментальных). То есть теоретическая модель в этом случае была бы замкнутая, но за счет погрешностей (например, коэффициентов) получилась плохо обусловленная. Это может быть в результате неправильной постановки задачи.

Для решения плохо обусловленных моделей используется метод регуляризации. Сущность метода заключается в следующем.

Большинство реальных задач содержат какую-либо дополнительную информацию о поведении объекта. В силу того, что теоретическая модель замкнута, включение дополнительной информации может делать полученную систему уравнений несовместимой. В этом случае всю имеющуюся информацию делят на основную и вспомогательную. Исходя из основной информации, строят модель. Если она получается не замкнутой, то дополнительную информацию полностью включают в модель. Если модель плохо обусловленная, то среди множества возможных решений выбирают такое, чтобы оно в максимальной степени удовлетворяло дополнительным условиям.

Пусть Ах=В плохо обусловленная модель некоторой системы, А -квадратная матрица, х - вектор искомых параметров, В – вектор свободных членов модели.

Решение будем искать из условия: , где <> - скалярное произведение двух векторов, - малое число.

Проведем анализ выбранного условия: минимум первого слагаемого (<Ax-B, Ax-B>) – скалярного произведения достигается в х, удовлетворяющем системе Ах=В, причем если система плохо обусловлена (а это задано изначально), то таких х будет множество, чтобы не было сильного расхождения, то берут достаточно малым.

По определению: сумма скалярных произведений равна скалярному произведению суммы, тогда с учетом, что I - единичная матрица, имеем:

1) Введем единичную матрицу и внесем const во второе скалярное произведение:

;

2) Сумму скалярных произведений преобразуем в скалярное произведение суммы и сгруппируем члены, содержащие и не содержащие х:

.

Проанализируем условие теперь: минимум будет достигнут в том случае, когда х есть решение системы (к каждому элементу вектора В добавили по ; т.е это означает, что в матрицу А к диагональным элементам добавили по малому числу α.)

Сделали малые добавки и система из плохообусловленной стала хорошообусловенной.

Модель называется замкнутой, если существует конечное множество параметров удовлетворяющей ей. Или иначе, если с ее помощью можно однозначно предсказать поведение объекта. Например, система n -независимых уравнение с n – неизвестными.

Модель, не удовлетворяющая этим свойствам, называется незамкнутой или открытой.

Например: решение можно предсказать лишь до постоянных величин, следовательно, модель открытая.

В данном случае неопределенность можно устранить, используя дополнительную информацию (например, некоторые начальные условия), то есть в заданном случае неопределенность устранимая, её называют открытая модель с устранимой неопределенностью [24].

Пример модели с неустранимой неопределенностью. В чаше пять белых и шесть черных шаров. Вероятность выпадения белых шаров вероятность выпадения черных . Однозначно предсказать, какой шар достанем невозможно, дополнительные условия ничего не дадут, это неустранимая неопределенность.

Если в результате моделирования полученная модель незамкнутая, то для ее замыкания может быть использовано два способа:

1) определение неизвестных параметров из других источников (например, из экспериментов);

2) подключение дополнительных соотношений (например, добавить уравнение).

Открытые модели широко используются в имитационном моделировании. Здесь учитывается главная особенность этих моделей, с их помощью однозначно предсказать поведение объекта (системы) нельзя. Задавая различные значения управляющих воздействий, вычисляют полученные значения выходных параметров, тем самым можно проиграть на модели все возможные ситуации и изучить свойства объекта, сделать некоторые выводы о его поведении.

Между замкнутыми и незамкнутыми моделями находится промежуточный класс – плохообусловленные модели.

Плохообусловленные модели - это модели, в которых отдельные их части (например, уравнения) почти зависимы между собой.

Рассмотрим предыдущий пример неправильного замыкания модели:

(1.11)

При численном решении таких моделей очень велики погрешности.

Пример 1:

(1.12)

Пример 2, (округлим коэффициент системы до целых):

(1.13)

(1.14)

т. е. первое и второе уравнения почти зависимы между собой.

Рис. 1.8 – Численное решение

Рассмотрим эмпирический способ решения задач.

Предположим, что провели ряд экспериментов, пуская тяжелые шары по наклонным желобам. Меняем угол наклона желоба, чтобы изменялось ускорение а. Меняем длину желоба, чтобы изменялся путь х. Фиксируем время t в каждом эксперименте. Получим таблицу значений:

Таблица 1.3

t	a	x
		0.15
		13.5
		12.5

Обработав результаты с помощью метода наименьших квадратов, получим такое же уравнение:

. (1.15)

Представим отличия теоретических и экспериментальных моделей в виде таблицы:

Таблица 1.3

Фактор	Теоретическая модель	Экспериментальная модель
Способ получения	Логические следствия законов природы	Математическая обработка экспериментов
Сложность исследований объекта	Сложные и всесторонние исследования	Относительно простая серия экспериментов
Сложность структуры модели	Высокая сложность: системы алгебраических уравнений, которые нужно решить (т.е. модель описания)	Невысокая сложность: явная зависимость выхода от входа (т.е. модель решения)
Область представления	Область широкая: могут быть включены даже точки, не доступные непосредственному наблюдению	Область узкая: вблизи экспериментальных точек

При синтезе теоретических моделей часть прибегают к упрощающим допущениям: некоторым предположениям о свойствах объекта, при выполнении которых модель существенно упрощается. Например, при равноускоренном движении мы пренебрегали силой трения. Наиболее типичны следующие упрощения:

- полагаем какой-либо параметр равным нулю;

-полагаем какой-либо параметр постоянным;

-полагаем, что два параметра линейно зависят друг от друга.

При теоретическом моделировании также применяются эксперименты. Однако, их роль существенно уже, чем в эмпирических моделях. Главным образом их используют для определения значений каких-либо параметров модели. Например, при теоретическом выводе, модель свободного падения имеет вид , но то, что g=9,81 можно получить только экспериментально.