III. Примеры использования функций

Пример 1. Игральная кость подбрасывается 24 раза. Найти вероятность того, что 6 очков выпадут ровно 3 раза. Найти точное значение вероятности и приближенные, используя локальную формулу Муавра-Лапласа и формулу Пуассона.

Решение. Требуется найти вероятность того, что в n=24 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха 1/6, число успехов будет равно 3. Для точного вычисления вероятности используем функцию БИНОМ.РАСП. Если параметр интегральная имеет значение ЛОЖЬ (0), то функция БИНОМ.РАСП возвращает вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число успехов. Таким образом, для , , находим:

=БИНОМ.РАСП(3;24;1/6;0)=0,203681.

Найдем приближенное значение вероятности, используя локальную формулу Муавра-Лапласа. Согласно этой формуле, вероятность , где - плотность стандартного нормального распределения, . Значения плотности распределения стандартной нормальной величины возвращает функция НОРМ.СТ.РАСП, при значении параметра интегральная равном ЛОЖЬ (0).

Таким образом: НОРМ.СТ.РАСП =0,188073.

С другой стороны, можно воспользоваться функцией НОРМ.РАСП, поскольку , а величина есть плотность нормального распределения со средним и среднеквадратичным отклонением в точке . Значения плотности распределения нормальной величины возвращает функция НОРМ.РАСП, при значении параметра интегральная равном ЛОЖЬ (0).

Таким образом: НОРМ.РАСП()=0,188073.

Найдем приближенное значение той же вероятности, используя формулу Пуассона. Согласно этой формуле, при малых вероятность , т.е. приближенно равна вероятности пуассоновского распределения с параметром (средним значением) в точке . Вероятности отдельных значений для распределения Пуассона возвращает функция ПУАССОН.РАСП при значении параметра интегральная равном ЛОЖЬ (0). Таким образом: ПУАССОН.РАСП ()=0,195367.

Заметим, что погрешность при использовании формулы Муавра-Лапласа составила 7,8%, а при использовании формулы Пуассона 4,1%.

Пример 2. Вероятность искажения одного символа при передачи сообщения равна 0,01. Какова вероятность, что сообщение, содержащее 200 символов, содержит не более 2-х искажений. Найти точное значение вероятности и приближенные, используя локальную формулу Муавра-Лапласа и формулу Пуассона.

Решение. Требуется найти вероятность того, что в n=200 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха 0,01, число успехов будет не более 2. Для точного вычисления вероятности используем функцию БИНОМ.РАСП. Если параметр интегральная имеет значение ИСТИНА (1), то функция БИНОМ.РАСП возвращает вероятность того, что число успешных испытаний лежит в пределах от 0 до значения, определяемого аргументом число успехов. Таким образом, для , , находим: =БИНОМРАСП(2;200;0,01;1)=0,676679.

Найдем приближенное значение вероятности, используя локальную формулу Муавра-Лапласа. Согласно этой формуле, вероятность , приближенно равна плотности нормального распределения в точке со средним и среднеквадратичным отклонением . Значения плотности распределения нормальной величины возвращает функция НОРМ.РАСП, при значении параметра интегральная равном ЛОЖЬ (0). Таким образом:

НОРМРАСП()+НОРМРАСП()+НОРМРАСП()=0,607013

Найдем приближенное значение той же вероятности, используя формулу Пуассона. Согласно этой формуле, вероятность при малых приближенно равна вероятности пуассоновского распределения в точке со средним значением . Значения вероятностей для распределения Пуассона возвращает функция ПУАССОН.РАСП. Причем, если значение параметра интегральная равно ИСТИНА (1), то функция ПУАССОН.РАСП возвращает вероятность того, что случайная величина, имеющая распределение Пуассона примет значения в пределах от 0 до значения, определяемого аргументом x. Таким образом: ПУАССОН.РАСП ()=0,676676.

Заметим, что погрешность, полученная при использования формулы Пуассона, в данном случае на порядок ниже, чем при использовании локальной формулы Муавра-Лапласа. Смысла использовать интегральную формулу Муавра-Лапласа в данном случае нет, поскольку интервал значений мал .

Пример 3. Монета подбрасывается 10000 раз. Найти вероятность того, что орел выпадет более 5100 раз. Найти точное значение вероятности и приближенное, используя интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Решение. Требуется найти вероятность того, что в n=10000 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха 1/2, число успехов будет более 5100. Для точного вычисления вероятности используем функцию БИНОМ.РАСП. Если параметр интегральная имеет значение ИСТИНА (1), то функция БИНОМ.РАСП возвращает вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения аргумента число успехов. Таким образом, находим: 1-БИНОМ.РАСП(5100;10000;1/2;1)=0,022213.

Найдем приближенное значение вероятности, используя интегральную формулу Муавра-Лапласа. Согласно этой формуле, вероятность , т.е. приближенно равна вероятности попадания в интервал нормальной случайной величины со средним и среднеквадратичным отклонением . Следовательно, если - функция распределения нормальной случайной величины с параметрами и , то .

Значения функции распределения нормальной величины возвращает функция НОРМ.РАСП, при значении параметра интегральная равном ИСТИНА (1). Таким образом:

1-НОРМРАСП()=0,02275.

Заметим, что более точной является приближенная формула . Если использовать ее, то получим:

=1-НОРМРАСП()=0,022216.

Можно использовать для расчетов также функцию НОРМ.СТ.РАСП, которая возвращает значения функции распределения стандартной нормальной величины. В этом случае НОРМСТРАСП - НОРМСТРАСП . Или с поправками:

НОРМСТРАСП - НОРМРАСП .

Пример 4. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти:

а) вероятность того, что примет значение в интервале ;

б) квантиль распределения уровня 5;

в) критическую точку распределения уровня 0,07;

г) интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,95 содержатся значения .