Задача №5

Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка: y‘ctgx+y=2

Решение:

Заданное дифференциальное уравнение является линейным. Полагаем y=uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y‘=u‘v+uv‘. Подставляя полученные замены у и у‘ в исходное уравнение получаем:

(u‘v+uv‘)ctgx+uv=2; u‘vctgx+u(v‘ctgx+v)=2; v‘ctgx+v=0

Имеем уравнение с разделяющимися переменными:

Определим функцию u:

u‘vctgx+u·0=2

u‘vctgx =2

u‘cosxctgx =2

Общее решение исходного уравнения имеет вид: у=2+Ccosx, где С – произвольная постоянная.

Ответ: y=2+Ccosx