Задача №6

Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка и частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

1) y²-2y¢+5y=x²+1, y₀=-3; y¢₀=-0,2; x₀=0.

Решение:

Найдём сначала общее решение соответствующего уравнения без правой части`у, затем какое – либо частное решение у* данного уравнения, а затем прибавим его к общему решению соответствующего уравнения без правой части`у. В сумме получится общее решение данного уравнения: у=у*+`у.

Cоставим характеристическое уравнение для y²-2y¢+5y=0

k²-2k+5=0, оно имеет два различных мнимых корня: k_1,2=1±2i, тогда`у =e^x(С₁cos2x+С₂sin2x), где С₁=const, С₂=const - общее решение соответствующего уравнения без правой части.

Ищем решение в виде: у*=Ax²+Bx+С;

у*¢=2Ax+B; у*²=2A.

Подставим полученные выражения в заданное уравнение и получим:

2A-4Ах-2В+5Ax²+5Bx+5С=x²+1

5Ax²+(5B-4А)х+(2A-2В+5С)=x²+1

А=0,2; В=0,16; С=0,184.

у*=0,2x²+0,16x+0,184 - частное решение.

Итак, общее решение данного уравнения: у=e^x(С₁cos2x+С₂sin2x)+0,2x²+0,16x+0,184, где С₁=const, С₂=const.

Ищем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

у=e^x(С₁cos2x+С₂sin2x)+0,2x²+0,16x+0,184

у¢=e^x(С₁cos2x+С₂sin2x-2С₁sin2x+2С₂cos2x)+0,4x+0,16

-3=С₁+0,184 Þ С₁=-3,184;

-0,2=С₁+2С₂+0,16 Þ С₂=1,412

у=e^x(-3,184cos2x+1,412sin2x)+0,2x²+0,16x+0,184

Ответ: у=e^x(С₁cos2x+С₂sin2x)+0,2x²+0,16x+0,184 и

у=e^x(-3,184cos2x+1,412sin2x)+0,2x²+0,16x+0,184.

2) y²-5y¢+6y=2cosx, y(0)=3; y¢₀=0,5.

Решение:

Cоставим характеристическое уравнение для y²-5y¢+6y=0

k²-5k+6=0, оно имеет два различных действительных корня: k₁=2, k₂=3, тогда`у =С₁e^2х +С₂e^3х, где С₁=const, С₂=const - общее решение соответствующего уравнения без правой части.

Ищем решение в виде: у*=Acosx+Bsinx;

у*¢=-Asinx+Bcosx; у*²=-Acosx-Bsinx.

Подставим полученные выражения в заданное уравнение и получим:

-Acosx-Bsinx-5(-Asinx+Bcosx)+6(Acosx+Bsinx)=2cosx;

-Acosx-Bsinx+5Asinx-5Bcosx+6Acosx+6Bsinx=2cosx;

(-A-5B+6A)cosx+(-B+5A+6B)sinx=2cosx;