Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их решения

Если в уравнении (1.9) правая часть равна нулю, то уравнение называется однородным. Оно имеет вид:

. (1.18)

Вообще в теории дифференциальных уравнений уравнение называется однородным, если функция, тождественно равная нулю (), является его решением. Решения линейных однородных уравнений вида (1.18) обладают следующими свойствами:

1) если есть решение линейного однородного уравнения (1.18), то , где – любая постоянная, есть также решение уравнения (1.18);

2) если и – решение линейного однородного уравнения (1.18), то сумма есть также решение этого уравнения;

3) если каждая из функций является решением уравнения (1.18), то и их линейная комбинация:

, (1.19)

где – произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

Для доказательства достаточно заметить, что если и есть линейная комбинация частных решений: , то любая производная функции будет такой же линейной комбинацией соответствующих производных функций :

; .

Разумеется, также будут выглядеть и производные второго порядка. Если подставить выражения для производных функций в левую часть уравнения (1.18) и перегруппировать слагаемые, то получим:

Поскольку по условию функции являются решениями уравнения (1.18), то каждая из скобок обратится в нуль, а вместе с ними и вся левая часть уравнения. Это и означает, что функция является его решением.

Уравнение в частных производных может иметь бесконечное множество линейно независимых частных решений, т.е. такое множество решений, любое конечное число которых являются функциями линейно независимыми.

Система функций , называется линейно независимой, если ни одна из этих функций не является линейной комбинацией остальных.

В соответствии с этим будем иметь дело не только с линейными комбинациями конечного числа решений, но и с рядами, членами которых служат произведения произвольных постоянных на частные решения:

. (1.20)

4. Основные типы уравнений математической физики

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

4.1. Волновое уравнение:

. (1.21)

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.

4.2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

. (1.22)

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.

4.3. Уравнение Лапласа:

, (1.23)

или в операторной форме:

, (1.24)

где – оператор Лапласа.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.

4.4. Уравнение Пуассона:

в общем случае в векторной форме уравнение имеет вид:

, (1.25)

где – искомая функция; , – некоторые функции независимых переменных.

Данное уравнение может быть записано в частных производных, если учесть, что по определению градиент некоторого скалярного поля определяется выражением:

, (1.26)