Граничные и начальные условия

Из курса высшей математики известно, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Это связано с появлением в процессе интегрирования констант, при любых значениях которых решение удовлетворяет исходному уравнению.

Решение задач математической физики связано с нахождением зависимостей от координат и времени определенных физических величин, которые, безусловно, должны удовлетворять требованиям однозначности (физическая величина не может иметь двух или более различных значений в данной точке пространства и в данный момент времени), конечности (физическая величина не может иметь бесконечных по модулю значений) и непрерывности. Иными словами, любая задача математической физики предполагает поиск единственного решения (если оно вообще существует). Поэтому математическая формулировка физической задачи должна помимо основных уравнений (дифференциальных уравнений в частных производных), описывающих искомые функции внутри рассматриваемой области, включать дополнительные уравнения (дифференциальные или алгебраические), описывающие искомые функции на границах рассматриваемой области в любой момент времени. Эти дополнительные уравнения называют соответственно граничными и начальными условиями задачи.

Итак, при решении задач физики математическими методами необходимо, прежде всего, дать математическую постановку задачи, а именно:

1) написать уравнение (или систему уравнений), которому удовлетворяет искомая функция (или система функций), описывающая исследуемое явление;

2) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области ее определения.