Задачи Коми для уравнения теплопроодности

Рассмотрим однородные уравнения теплопроводности.

При отсутствии внешних источников тепла. Поставим задачу Коми:

Найти функцию U(x,t) удовлетворяющую уравнению:

Физический смысл задачи – определение температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по известн. температуре в начальный момент времени t=0.

Считается, что токов. поверхность стержня теплоизолирована (тепло из стержня не уходит)

Предположим теперь, что функции U(x,t) и достаточно гладкие функции, убывающие при

Настолько быстро, что существ. преобразов. Фурье

преобразование Фурье функции по перемен. Х.

2. Законны операции дифферен.

Следовательно, получаем, что преобразов. Фурье второй производной функции связано с преобразованием Фурье самой функции следующ. равенством

Применим преобразов. Фурье к исходному уравнению и нач. услов. сведя пост. задачу к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

От первого уравнения осталось уравнение:

Полученная задача, является задачей Коми для обыкновенного дифференц. уравнения.

Решением этой задачи является функция

(что проверяется простой подстановкой)

Покажем, что функция

является преобразованием Фурье

Т.е. явл. преобразов. Фурье от функции:

Док-во: считаем

Мы доказали, что функция

и наше решение

Решение можно записать в виде:

Как известно произведение двух преобразований Фурье = свертке преобраз. функций равна преобраз. Фурье от свертки преобразуемых функций

т.е. где f₁ свернутая с f₂

Тогда

Получено решение исходной задачи Коши и назыв. формула Пуассона для решения задачи Коши уравнения теплопроводности.

Осталось проверить, что заданное уравнение удовлетворяет начальному условию, т.е.

При находим, что

ч.т.д.

Найденное решение удовлетворяет условию:

Пример:

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности ( - функция Дирана)

Функция

Входящая в формулу Пуассона назыв. фундаментал. решение уравнений теплопроводности.

Рассматривая как функция аргументов x,t она удовлетворяет уравнению теплопроводности

в чем можно убедится проверкой.

Фундаментальное решение имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Допустим в начальный момент времени начальное распределение температуры имеет вид:

Чем меньше тем выше полочка

Тогда в силу формулы Пуассона распределен. температуры в стержне имеет вид:

по теореме о среднем найдется такая точка

, где устремим , тогда из последнего равенства получим

- это означает, что функция представляет распределенную температуру в стержне в момент , если начальный момент времени в точке х₀ имеется бесконечный пик температур, а в остальных точках стержня температура равна была 0. Такое начальное распределение температур может быть приближ. реализовано следующим образом:

В момент к точке х₀стержня на очень короткий промежуток времени подносится узкое пламя очень высокой температуры (тепловой импульс) – это начальное распределение температур описыв. Формулой Дирана и обозначается . Не явл. функцией в обычном смысле функция определена формально при помощи соотношений