Решение краевых задач для одномерного волнового уравнения методом разделения переменных (Фурье)

Эта задача интерпретировать малые поперечные колебания струны без воздействия внешних сил (свободные колебания), струна имеет конечную длину 0 ≤ x ≤ l, в каждой точке этой струны задано начальное ее отклонение равновесного положения и начальная скорость. Будем пока считать, что концы струны жестко закреплены, что соответствует краевому условию

Будем искать решение поставленной задачи

, тогда

и

поставим эти уравнения в начальное уравнение.

для того, чтобы проинтегрировать раздел. переменные

поскольку последнее равенство выполнено для любых значений Х и Т, то найдется такое число К, что

из краевых условий =>

=>

Следовательно, для нахождения функций Х (х) и Т (t) получаем две задачи

1-ый случай: К > 0, тогда

, где С ₁, С ₂, С ₃, С ₄ – произвольные постоянные.

Система однородная, определитель ≠ 0.

Полученная система на С ₃ и С ₄ будет иметь отличное от нуля решение только в том случае, если определитель = 0.

К = 0, что противоречит, что К = 0.

2-ой случай: К = 0

=>

3-ий случай: К < 0

Положим

– собственные значения поставленной задачи штурма – Муввиля, каждая из которых:

Пользуясь принципом суперпозиции решения однородных задач, получаем, что общее решение будет иметь вид:

Для определенных коэффициентов A_n и B_n воспользуемся начальными условиями

– ряд Фурье.

Функция f (x) по синусам, а A_n – коэффициент ряда Фурье по функциям f (x).

– это разложение функции g (x) в ряд Фурье.

Пример: Тугонатянутая гибкая струна. Книга Троицкой, стр. 23, задача 4

«Смешанная задача для волнового уравнения в прямоугольнике»

, где S – граница области, в которой ищется решение.

Пусть теперь мембрана имеет вид прямоугольника.

воздействие внешних сил не учитываем

Применим метод разделения переменных

Подставим эти выражения для производных в исходное уравнение:

разделим это равенство на

получим:

Причем последнее равенство выполнено для любых точек x, y, t => существует постоянное число λ, такое что

Причем, последнее равенство выполнено при любых x и y => найдутся числа λ₁ и λ₂ такие что:

λ = λ₁ + λ₂ и

, а

Из граничных условий:

для любых точек x и t =>

Y (0) = 0

для любых точек y и t =>

X (l) = 0

для любой точки y, t =>

X (0) = 0

для любой точки x, t =>

Y (m) = 0

Следовательно, получаем две задачи Штурма – Люнвина для нахождения функций X (x) и Y (y).

Задачи:

1. Пусть λ1 > 0, тогда C 1 = C 2, т.к. λ1 > 0 быть не может	1. Аналогично левому столбику, можно показать, что λ2 > 0 быть не может
2. λ1 = 0 X (x) = ax + b b = 0 a = 0 λ1 ≠ 0 решение тривиальное	2. Аналогично λ2 ≠ 0
3. λ1 < 0 Характеристическое уравнение С 1 = 0 – бесконечно много собственных значений задачи Штурмана – Люнвина	λ2 < 0 Характеристическое уравнение С 3 = 0 – бесконечно много собственных значений

Каждое из найденных собственных значений порождает собственную функцию

Следовательно:

Найдем T (t)

Характеристическое уравнение:

– бесконечное число собственных функций задачи Штурмана – Люнвина, на нахождение функции T (t), тогда общее решение исходной задачи будем искать в виде:

где A_nk и B_nk – определяются, исходя из начальных условий

Не трудно показать, что система функций

– ортогональная система функций на прямоуг

B_nk – коэффициент Фурье, разложения функции f (x, y) в ряд Фурье по этой системе =>

Воспользуемся заданной начальной скоростью для нахождения коэффициента A_nk.

откуда получаем, аналогично предыдущему, что

– коэффициент Фурье разложения функции g (x, y) в ряд Фурье по системе функций

22 вариант (14)

	U (t, x, y, z)

U (t, x, y, z) – температура в точке в момент времени t.

Воспользуемся законом Фурье для плотности потока тепла W в направлении нормали в единицу времени.

, где – производная функции температуры U (t, x, y, z) вдоль нормали , k – коэффициент теплообмена.

k – может быть функцией температуры, точки, времени, т.е. .

Рассмотрим часть тела V ограниченную поверхностью S.

Напишем уравнение баланса тепла в объеме D за малое время Δ t.

– где М – точка объема D – функция плотности тепла от внешних источников, тогда Q ₁ – количество тепла от внешних источников.

– количество тепла, пришедшее в объем D за счет внешних источников за время Δ t.

– расход тепла за счет выходящего из D потока.

– изменение количества тепла в области D за время Δ t, где

С (x, y, z) – теплоемкость тела (вещества) в точке x, y, z;

ρ(x, y, z) – плотность вещества;

U_t (x, y, z, t) – изменение температуры.

Уравнение баланса тепла по закону сохранения энергии имеет вид:

Q ₃ = Q ₁ – Q ₂

или в интегральной форме

(*)

U (x, y, z)

где

Поток векторного поля через поверхность S:

– теорема Остроградского – Гаусса.

Применим теорему Остроградского – Гаусса к последнему интегралу (*).

,

тогда уравнение теплового баланса приобретает вид:

Последнее равенство выполнено для любой области D, целиком лежащей в объеме V; в виду произвольности области D, получаем уравнение теплопроводности:

уравнение теплопроводности, уравнение распространения тепла в объеме V.

ρ, C, k – функции от М (x, y, z) и времени t;

k – коэффициент теплообмена (Фурье).

Интересный случай, когда среда однородная, т.е. ρ, C, k – постоянные и не зависят ни от положения точки, ни от времени, тело – однородно и его характеристики с течением времени не меняются, тогда

, обозначим – получим =>

уравнение теплопроводности для однородного тела.

– однородное уравнение теплопроводности.

– волновое уравнение.

Уравнения теплопроводности принадлежат к классу уравнений параболического типа.

Доказательство:

Совершенно аналогично выводится уравнение диффузии.

Воспользуемся законом Нернста для потока вещества W в направлении .

U (M, t) – концентрация диффундированного вещества в точке М объема V в момент времени t.

, где

D – коэффициент диффузии.

f (M, t) – количество вещества, попадающего в точку М от внешних источников.

- диффунд. из тела, выходящий поток в-ва

где

d – коэффициент пористости среды, в котором происходит диффузия

Аналогично пред. можно показать, что из уравнения:

Уравнение диффузии, отлич. от уравнения теплопроводн. только тем, что коэффициенты D и d имеют другой физический смысл, если считать, что среда однородная, то уравнение приобретет вид

, обозначим

Функция конечного вещества

Уравнение диффуз и распространенного тепла в некотором объеме одинаковы.

В 1-ом случае:

U(M,t) – конц. вещества в V

2-ом U(M,t) - темпер.

Уравнение теплопроводн. имеет множество решений, чтобы было единственным нужно задать начальные и краевые условия