Существует важный класс интегральных уравнений, которые легко решаются путем сведения к системе алгебраических уравнений. Такими интегральными уравнениями являются с так называемыми вырожденными ядрами.
(1)
Определение: Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если его можно представить в виде суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых есть произведение двух функций, причем первая зависит лишь от х, а вторая – только от ξ:
(27)
Считаем, что и непрерывны на [a,b] и что ,а также линейно независимы между собой.
Уравнение (1) имеет вид:
Обозначим (28)
Тогда (29)
Подставим (29) в (1):
Так как , линейно независимы, то
Обозначим: (30)
, (31)
Тогда (32)
Решив систему (32), мы тем самым решим и данное интегральное уравнение, используя формулу (29). Если алгебраическая система (32) не разрешима, то таково и интегральное уравнение.
Определитель системы
(33)
D(λ) – многочлен степени ≤ n, причем D(λ)≠0, так как при λ=0, D(0)=1. следовательно, D(λ) имеет ≤ n различных корней.
|
|
D(λ) называют определителем Фредгольма для уравнения (1).
1. Если λ таково, что D(λ)≠0, то система (32), а, следовательно, и уравнение (1) имеет единственное решение, определяемое формулой (29). В этом случае при f(x)=0, а следовательно, и система (32) имеет единственное решение ; следовательно φ(х)=0. Это означает, что те λ, для которых D(λ)≠0, не является собственными значениями.
Вывод: Если λ не является собственным значением, то уравнение (1) имеет единственное решение.
Очевидно, что для того, чтобы неоднородное уравнение (1) имело единственное решение при любой f(x) (), необходимо и достаточно, чтобы соответствующее ему однородное уравнение имело бы только тривиальное решение (φ(х)=0).
Замечание: Как правило, при решении интегральных уравнений приходится часто прибегать к приближенным методам. При этом важно установить разрешимость уравнения при любой правой части (пользуясь первой теоремой). Удобнее бывает доказать, что однородное уравнение или транспонированное к нему (сопряженное) имеет лишь тривиальное решение. Отсюда в силу теоремы 1 следует разрешимость неоднородного уравнения.
Три фундаментальные теоремы Фредгольма, касающиеся разрешимости уравнений с вырожденными ядрами, можно распространить и на случай произвольного непрерывного ядра.
Формулы:
[1]
[2]
Решение уравнения:
[3]
[5] (i=1,2,…,n), где
[6]
[7]
Примеры
Найти решение уравнений с вырожденными ядрами:
№1.
Решение: Обозначим , получим . Подставим в уравнение
()
;
Ответ:
№2
Решение: sin(x+t)=sinxcost+cosxsint
n=2;
Система [5] имеет вид:
D(λ)=0; ; - собственные числа уравнения.
|
|
Если λ≠ , λ≠ , то D(λ)≠0 и система имеет единственное решение:
Ответ:
- единственное решение интегрального уравнения
№3
Решение:
Тогда
D(λ)≠0 при любых действительных λ.
По формулам Крамера ;
Если , то единственное решение уравнения
№4
Решение: =x+ξ – непрерывно в квадрате 0≤х, ξ≤1 и является вырожденным.
;
Тогда
=>
D(λ)=0 <=> ,
Если , то единственное решение
-
единственное решение уравнения при .
Замечание:
Решение существует, единственное и может быть найдено методом последовательных приближений при . При остальных λ последовательность приближений может расходиться, хотя решение существует (оно находится другим способом). Так как условия доказанной теоремы существования решения достаточные, но не являются необходимыми. Для уравнений с вырожденным ядром решение существует и единственно для всех λ, для которых D(λ)≠0.
№5
Решение:
, тогда =>
=>
=>
Ответ:
№6
Решение: Ядро - вырожденное.
Полагая
по формулам [6]-[7] вычисляем
Система [5] принимает вид
, ее общее решение:
=С, =-π+2С, где С – произвольна постоянная.
Ответ: Любая функция вида
есть решение данного интегрального уравнения и других решений это уравнение не имеет.
Задание для самостоятельной работы:
Решить интегральные уравнения с вырожденными ядрами
1.
2.
3.
4.
5.
6.