Тема 5 Уравнения с вырожденными ядрами

Существует важный класс интегральных уравнений, которые легко решаются путем сведения к системе алгебраических уравнений. Такими интегральными уравнениями являются с так называемыми вырожденными ядрами.

(1)

Определение: Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если его можно представить в виде суммы конечного числа слагаемых, каждое из которых есть произведение двух функций, причем первая зависит лишь от х, а вторая – только от ξ:

(27)

Считаем, что и непрерывны на [a,b] и что ,а также линейно независимы между собой.

Уравнение (1) имеет вид:

Обозначим (28)

Тогда (29)

Подставим (29) в (1):

Так как , линейно независимы, то

Обозначим: (30)

, (31)

Тогда (32)

Решив систему (32), мы тем самым решим и данное интегральное уравнение, используя формулу (29). Если алгебраическая система (32) не разрешима, то таково и интегральное уравнение.

Определитель системы

(33)

D(λ) – многочлен степени ≤ n, причем D(λ)≠0, так как при λ=0, D(0)=1. следовательно, D(λ) имеет ≤ n различных корней.

D(λ) называют определителем Фредгольма для уравнения (1).

1. Если λ таково, что D(λ)≠0, то система (32), а, следовательно, и уравнение (1) имеет единственное решение, определяемое формулой (29). В этом случае при f(x)=0, а следовательно, и система (32) имеет единственное решение ; следовательно φ(х)=0. Это означает, что те λ, для которых D(λ)≠0, не является собственными значениями.

Вывод: Если λ не является собственным значением, то уравнение (1) имеет единственное решение.

Очевидно, что для того, чтобы неоднородное уравнение (1) имело единственное решение при любой f(x) (), необходимо и достаточно, чтобы соответствующее ему однородное уравнение имело бы только тривиальное решение (φ(х)=0).

Замечание: Как правило, при решении интегральных уравнений приходится часто прибегать к приближенным методам. При этом важно установить разрешимость уравнения при любой правой части (пользуясь первой теоремой). Удобнее бывает доказать, что однородное уравнение или транспонированное к нему (сопряженное) имеет лишь тривиальное решение. Отсюда в силу теоремы 1 следует разрешимость неоднородного уравнения.

Три фундаментальные теоремы Фредгольма, касающиеся разрешимости уравнений с вырожденными ядрами, можно распространить и на случай произвольного непрерывного ядра.

Формулы:

[1]

[2]

Решение уравнения:

[3]

[5] (i=1,2,…,n), где

[6]

[7]

Примеры

Найти решение уравнений с вырожденными ядрами:

№1.

Решение: Обозначим , получим . Подставим в уравнение

()

;

Ответ:

№2

Решение: sin(x+t)=sinxcost+cosxsint

n=2;

Система [5] имеет вид:

D(λ)=0; ; - собственные числа уравнения.

Если λ≠ , λ≠ , то D(λ)≠0 и система имеет единственное решение:

Ответ:

- единственное решение интегрального уравнения

№3

Решение:

Тогда

D(λ)≠0 при любых действительных λ.

По формулам Крамера ;

Если , то единственное решение уравнения

№4

Решение: =x+ξ – непрерывно в квадрате 0≤х, ξ≤1 и является вырожденным.

;

Тогда

D(λ)=0 <=> ,

Если , то единственное решение

единственное решение уравнения при .

Замечание:

Решение существует, единственное и может быть найдено методом последовательных приближений при . При остальных λ последовательность приближений может расходиться, хотя решение существует (оно находится другим способом). Так как условия доказанной теоремы существования решения достаточные, но не являются необходимыми. Для уравнений с вырожденным ядром решение существует и единственно для всех λ, для которых D(λ)≠0.