Тема 3 Понятие резольвенты интегрального уравнения Фредгольма

Было показано, что решение уравнения:

(1)

в том случае, если и , где

определяется по формуле:

(19)

Так как ряд в (19) сходится равномерно, то можно изменить порядок суммирования и интегрирования:

Обозначим - ряд Неймана. (23)

Эта функция называется резольвентой уравнения (1). Решение уравнения можно записать:

(24)

Если вычислена резольвента, то решение уравнения может быть записано сразу ().

Определение: Будем говорить, что интегральное уравнение (1) имеет резольвенту R(x,ξ,λ), если решение уравнения можно записать в виде (24), причем это решение единственное при любом свободном члене f(x).

Очевидно, что если у интегрального уравнения существует резольвента, то она единственная.

Действительно, пусть при , уравнение имеет две резольвенты и . Тогда единственное решение уравнения можно записать в виде:

т.к. f(ξ) – произвольная функция.

Замечание: Резольвента была определена только для значений λ, таких что . Однако, резольвента существует во всей плоскости комплексного переменного λ, кроме некоторых изолированных значений λ.

Пример.

, ;

Ряд Неймана сходится при |λ|<1.

Обозначим

определенно при λ≠1 (внутри и вне окружности |λ|=1; на окружности, исключая лишь λ=1).

Замечание: Для некоторых уравнений Фредгольма ряд (23) сходится при всех λ.

Предположим, что . Найдем оценку для итерированных ядер, пользуясь тем, что

В силу неравенства Коши - Буняковского:

Проинтегрировав по ξ, получаем

Имеем

неравенств

Отсюда , то есть

Значит, ряд сходится при .

Отсюда резольвента удовлетворяет следующему интегральному уравнению:

(25)

Допустим, что

Этот интеграл называется «k»-тым следом ядра или следом «k»-го итерированного ядра. Имеем при x=ξ

После интегрирования по x по [a,b]:

(26)

Пример. Построить резольвенту интегрального уравнения с помощью итерированных ядер.

при |λ|<3

Решение интегрального уравнения:

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Задание для самостоятельной работы:

Найти итерированные ядра для указанных ядер при заданных a и b

и построить резольвенты.

Построение резольвенты для следующих ядер

1. ; a=0, b=1

2. ; a=0,

3. ; a=-1, b=1

4. ; a=-1, b=0

5. ; a=-1, b=1

6. ; a=-1, b=1

Ответ 1) R(x,t,λ)= ;

2) R(x,t,λ)= ;

3) R(x,t,λ)= ;

4) R(x,t,λ)= ;

5) R(x,t,λ)= ;

6) R(x,t,λ)= ;