2015-03-08
4094
Было показано, что решение уравнения:
(1)
в том случае, если 
и 
, где 
определяется по формуле:
(19)
Так как ряд в (19) сходится равномерно, то можно изменить порядок суммирования и интегрирования:
Обозначим 
- ряд Неймана. (23)
Эта функция называется резольвентой уравнения (1). Решение уравнения можно записать:
(24)
Если вычислена резольвента, то решение уравнения может быть записано сразу ().
Определение: Будем говорить, что интегральное уравнение (1) имеет резольвенту R(x,ξ,λ), если решение уравнения можно записать в виде (24), причем это решение единственное при любом свободном члене f(x).
Очевидно, что если у интегрального уравнения существует резольвента, то она единственная.
Действительно, пусть при 
, 
уравнение имеет две резольвенты 
и 
. Тогда единственное решение уравнения можно записать в виде:
т.к. f(ξ) – произвольная функция.
Замечание: Резольвента была определена только для значений λ, таких что . Однако, резольвента существует во всей плоскости комплексного переменного λ, кроме некоторых изолированных значений λ.
|
|
|
Пример.
, 
; 
Ряд Неймана сходится при |λ|<1.
Обозначим
определенно при λ≠1 (внутри и вне окружности |λ|=1; на окружности, исключая лишь λ=1).
Замечание: Для некоторых уравнений Фредгольма ряд (23) сходится при всех λ.
Предположим, что 
. Найдем оценку для итерированных ядер, пользуясь тем, что 
В силу неравенства Коши - Буняковского:
Проинтегрировав по ξ, получаем
Имеем
неравенств
Отсюда 
, то есть 
Значит, ряд 
сходится при .
Отсюда резольвента удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
(25)
Допустим, что 
Этот интеграл называется «k»-тым следом ядра 
или следом «k»-го итерированного ядра. Имеем при x=ξ
После интегрирования по x по [a,b]:
(26)
Пример. Построить резольвенту интегрального уравнения с помощью итерированных ядер.
при |λ|<3
Решение интегрального уравнения:
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Задание для самостоятельной работы:
Найти итерированные ядра для указанных ядер при заданных a и b
и построить резольвенты.
Построение резольвенты для следующих ядер
1. 
; a=0, b=1
2. 
; a=0, 
3. 
; a=-1, b=1
4. 
; a=-1, b=0
5. 
; a=-1, b=1
6. 
; a=-1, b=1
Ответ 1) R(x,t,λ)= 
; 
2) R(x,t,λ)= 
; 
3) R(x,t,λ)= 
; 
4) R(x,t,λ)= 
; 
5) R(x,t,λ)= 
; 
6) R(x,t,λ)= 
;
