Тема 4 Метод определителей Фредгольма

Решение уравнения Фредгольма 2-го рода:

Φ(x)-λ ф(t)dt=f(х) (1)

дается формулой

Φ(x)= f(х)+ λ f(t)dt. (2)

где функция R(х,t, λ), называемая резольвентой Фредгольма (1), определяется равенством

R(х,t, λ),= (3)

при условии, что D(λ)≠0. Здесь D(x,t,λ) и D(λ)-степенные ряды по λ

D(x,t,λ)=K(x,t) +∑ (4)

D(λ)=1+∑ (5)

коэффициенты которых определяются

=

(6)

причем

dt….d (7)

функция D(x,t,λ) называется минором Фредгольма, а D(λ) – определителем Фредгольма.

В случае, когда ядро K(x,t) ограничено или же интеграл

имеет конечное значение, ряды (4), (5) сходятся для всех значений λ и значит, является целыми аналитическими функциями от λ.

Пример. С помощью определителей Фредгольма найти резольвенту ядра K(x, t)=xe^t ; а=0, б=1.

Решение. Имеем В₀ (x, t)= xe^t . Далее

Так как определители под знаком интеграла равны нулю. Очевидно, что все последующие В_n(x,t)=0. Находим коэффициенты С_n.

Очевидно, что все последующие С_n=0.

Согласно формулам (4) и (5) в нашем случае имеем:

Таким образом,

Применим полученный результат к решению интегрального уравнения

Согласно формуле (2)

Пусть =e^-x, то получим

Задание для самостоятельной работы:

С помощью определителей Фредгольма найти резольвенту ядра K(x,t)

1)

Ответ:

2)

Ответ:

3)

Ответ:

4)

Ответ: