Глава 3. Дифференциалы функции двух переменных

Полным дифференциалом df (x, y) функции f (x, y) называется выражение

(3.1)

Напомним, что по определению для независимых переменных Δ x =d x, Δ y =d y.

Частным дифференциалом по переменной х называется следующее выражение

(3,2)

Аналогично определяется частный дифференциал по переменной у

(3.3)

Следовательно

(3.4)

Полное приращение функции двух переменных, вызванное приращением ее аргументов, отличается от полного дифференциала на бесконечно малую функцию более высокого порядка малости, чем приращения аргументов Δ х и Δ у, т.е.

D z = D f (x, y) = d f (x, y) + a(Δ x, Δ y) (3.5)

В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение функции заменяют на ее полный дифференциал. Если значение f (x ₀, y₀) известно, но неизвестно f (x ₁, y ₁) = f (x ₀+D x, y ₀+D y), то приближенное значение функции удобно вычислять при помощи полного дифференциала.

(3.6)

Пример 1. Найдем полный дифференциал функции .